MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0 Structured version   Unicode version

Theorem rpne0 11231
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpne0  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem rpne0
StepHypRef Expression
1 rpregt0 11229 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
2 gt0ne0 10013 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   RRcr 9487   0cc0 9488    < clt 9624   RR+crp 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-rp 11217
This theorem is referenced by:  rprene0  11232  rpcnne0  11233  rpne0d  11257  xlemul1  11478  ltdifltdiv  11930  negmod0  11968  moddiffl  11971  modid0  11985  2txmodxeq0  12011  rpexpcl  12149  expnlbnd  12260  rennim  13031  sqrtdiv  13058  o1fsum  13586  divrcnv  13623  rpmsubg  18249  itg2const2  21883  reeff1o  22576  reefgim  22579  advlog  22763  advlogexp  22764  logcxp  22778  cxprec  22795  cxpmul  22797  abscxp  22801  cxple2  22806  dvcxp1  22844  dvcxp2  22845  dvsqrt  22846  rlimcnp  23023  efrlim  23027  cxplim  23029  cxp2limlem  23033  cxploglim  23035  logdifbnd  23051  logdiflbnd  23052  logfacrlim2  23229  bposlem8  23294  vmadivsum  23395  mudivsum  23443  mulogsumlem  23444  logdivsum  23446  log2sumbnd  23457  selberg2lem  23463  selberg2  23464  pntrmax  23477  selbergr  23481  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntlem3  23522  padicabvcxp  23545  blocnilem  25395  nmcexi  26621  probfinmeasbOLD  28007  probfinmeasb  28008  areacirclem1  29684  areacirclem4  29687  areacirc  29689  heiborlem6  29915  heiborlem7  29916  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  fourierdlem39  31446
  Copyright terms: Public domain W3C validator