MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0 Structured version   Unicode version

Theorem rpne0 11112
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpne0  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem rpne0
StepHypRef Expression
1 rpregt0 11110 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
2 gt0ne0 9910 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2645   class class class wbr 4395   RRcr 9387   0cc0 9388    < clt 9524   RR+crp 11097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529  df-rp 11098
This theorem is referenced by:  rprene0  11113  rpcnne0  11114  rpne0d  11138  xlemul1  11359  ltdifltdiv  11790  negmod0  11828  moddiffl  11831  modid0  11845  2txmodxeq0  11871  rpexpcl  11996  expnlbnd  12106  rennim  12841  sqrdiv  12868  o1fsum  13389  divrcnv  13428  rpmsubg  17996  itg2const2  21347  reeff1o  22040  reefgim  22043  advlog  22227  advlogexp  22228  logcxp  22242  cxprec  22259  cxpmul  22261  abscxp  22265  cxple2  22270  dvcxp1  22308  dvcxp2  22309  dvsqr  22310  rlimcnp  22487  efrlim  22491  cxplim  22493  cxp2limlem  22497  cxploglim  22499  logdifbnd  22515  logdiflbnd  22516  logfacrlim2  22693  bposlem8  22758  vmadivsum  22859  mudivsum  22907  mulogsumlem  22908  logdivsum  22910  log2sumbnd  22921  selberg2lem  22927  selberg2  22928  pntrmax  22941  selbergr  22945  pntrlog2bndlem4  22957  pntrlog2bndlem5  22958  pntlem3  22986  padicabvcxp  23009  blocnilem  24351  nmcexi  25577  probfinmeasbOLD  26950  probfinmeasb  26951  areacirclem1  28627  areacirclem4  28630  areacirc  28632  heiborlem6  28858  heiborlem7  28859
  Copyright terms: Public domain W3C validator