Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulgcd2 Structured version   Unicode version

Theorem rpmulgcd2 14649
 Description: If is relatively prime to , then the GCD of with is the product of the GCDs with and respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpmulgcd2

Proof of Theorem rpmulgcd2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . 3
2 simpl2 1009 . . . 4
3 simpl3 1010 . . . 4
42, 3zmulcld 11046 . . 3
51, 4gcdcld 14469 . 2
61, 2gcdcld 14469 . . 3
71, 3gcdcld 14469 . . 3
86, 7nn0mulcld 10930 . 2
9 mulgcddvds 14648 . . 3
109adantr 466 . 2
11 gcddvds 14464 . . . . . 6
121, 2, 11syl2anc 665 . . . . 5
1312simpld 460 . . . 4
14 gcddvds 14464 . . . . . 6
151, 3, 14syl2anc 665 . . . . 5
1615simpld 460 . . . 4
176nn0zd 11038 . . . . 5
187nn0zd 11038 . . . . 5
19 gcddvds 14464 . . . . . . . . . . 11
2017, 18, 19syl2anc 665 . . . . . . . . . 10
2120simpld 460 . . . . . . . . 9
2212simprd 464 . . . . . . . . 9
2317, 18gcdcld 14469 . . . . . . . . . . 11
2423nn0zd 11038 . . . . . . . . . 10
25 dvdstr 14324 . . . . . . . . . 10
2624, 17, 2, 25syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
2721, 22, 26mp2and 683 . . . . . . . 8
2820simprd 464 . . . . . . . . 9
2915simprd 464 . . . . . . . . 9
30 dvdstr 14324 . . . . . . . . . 10
3124, 18, 3, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . 9
3228, 29, 31mp2and 683 . . . . . . . 8
33 dvdsgcd 14498 . . . . . . . . 9
3424, 2, 3, 33syl3anc 1264 . . . . . . . 8
3527, 32, 34mp2and 683 . . . . . . 7
36 simpr 462 . . . . . . 7
3735, 36breqtrd 4445 . . . . . 6
38 dvds1 14340 . . . . . . 7
3923, 38syl 17 . . . . . 6
4037, 39mpbid 213 . . . . 5
41 coprmdvds2 14647 . . . . 5
4217, 18, 1, 40, 41syl31anc 1267 . . . 4
4313, 16, 42mp2and 683 . . 3
44 dvdscmul 14316 . . . . . 6
4518, 3, 17, 44syl3anc 1264 . . . . 5
46 dvdsmulc 14317 . . . . . 6
4717, 2, 3, 46syl3anc 1264 . . . . 5
4817, 18zmulcld 11046 . . . . . 6
4917, 3zmulcld 11046 . . . . . 6
50 dvdstr 14324 . . . . . 6
5148, 49, 4, 50syl3anc 1264 . . . . 5
5245, 47, 51syl2and 485 . . . 4
5329, 22, 52mp2and 683 . . 3
54 dvdsgcd 14498 . . . 4
5548, 1, 4, 54syl3anc 1264 . . 3
5643, 53, 55mp2and 683 . 2
57 dvdseq 14339 . 2
585, 8, 10, 56, 57syl22anc 1265 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868   class class class wbr 4420  (class class class)co 6301  c1 9540   cmul 9544  cn0 10869  cz 10937   cdvds 14292   cgcd 14455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-gcd 14456 This theorem is referenced by:  dvdsmulf1o  24109
 Copyright terms: Public domain W3C validator