Theorem rpmulcld 11030

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpmulcl 10999	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 654	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755  (class class class)co 6080   x. cmul 9274   RR+crp 10978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-rp 10979

This theorem is referenced by:  reccn2  13057  eirrlem  13468  nrginvrcnlem  20112  ovolscalem1  20837  itg2gt0  21079  aaliou3lem1  21692  aaliou3lem2  21693  aaliou3lem8  21695  cosordlem  21871  logcnlem2  21972  cxp2limlem  22253  lgsquadlem2  22578  chtppilimlem1  22606  chtppilim  22608  chebbnd2  22610  chto1lb  22611  rplogsumlem1  22617  dchrvmasumlem1  22628  chpdifbndlem1  22686  chpdifbndlem2  22687  selberg3lem1  22690  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntpbnd2  22720  pntlemd  22727  pntlema  22729  pntlemb  22730  pntlemq  22734  pntlemr  22735  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemo  22740  pntlem3  22742  pntleml  22744  pnt  22747  ttgcontlem1  22953  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem4  26865  lgamgulmlem5  26866  lgamgulmlem6  26867  faclimlem1  27395  faclimlem3  27397  faclim  27398  rrndstprj2  28571  pellfund14  29081  wallispilem3  29705  wallispilem4  29706  wallispi  29708  wallispi2lem1  29709  stirlinglem2  29713  stirlinglem3  29714  stirlinglem4  29715  stirlinglem6  29717  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721  stirlinglem11  29722  stirlinglem12  29723  stirlinglem13  29724  stirlinglem14  29725  stirlinglem15  29726  stirlingr  29728