Theorem rpmulcld 11042

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpmulcl 11011	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756  (class class class)co 6090   x. cmul 9286   RR+crp 10990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-mulgt0 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-ltxr 9422  df-rp 10991

This theorem is referenced by:  reccn2  13073  eirrlem  13485  nrginvrcnlem  20270  ovolscalem1  20995  itg2gt0  21237  aaliou3lem1  21807  aaliou3lem2  21808  aaliou3lem8  21810  cosordlem  21986  logcnlem2  22087  cxp2limlem  22368  lgsquadlem2  22693  chtppilimlem1  22721  chtppilim  22723  chebbnd2  22725  chto1lb  22726  rplogsumlem1  22732  dchrvmasumlem1  22743  chpdifbndlem1  22801  chpdifbndlem2  22802  selberg3lem1  22805  selberg4lem1  22808  selberg4  22809  pntrlog2bndlem2  22826  pntrlog2bndlem3  22827  pntrlog2bndlem4  22828  pntrlog2bndlem5  22829  pntpbnd2  22835  pntlemd  22842  pntlema  22844  pntlemb  22845  pntlemq  22849  pntlemr  22850  pntlemj  22851  pntlemf  22853  pntlemo  22855  pntlem3  22857  pntleml  22859  pnt  22862  ttgcontlem1  23130  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem4  27017  lgamgulmlem5  27018  lgamgulmlem6  27019  faclimlem1  27548  faclimlem3  27550  faclim  27551  rrndstprj2  28728  pellfund14  29237  wallispilem3  29860  wallispilem4  29861  wallispi  29863  wallispi2lem1  29864  stirlinglem2  29868  stirlinglem3  29869  stirlinglem4  29870  stirlinglem6  29872  stirlinglem7  29873  stirlinglem10  29876  stirlinglem11  29877  stirlinglem12  29878  stirlinglem13  29879  stirlinglem14  29880  stirlinglem15  29881  stirlingr  29883