Theorem rpmulcld 11385

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpmulcl 11352	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 671	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1897  (class class class)co 6314   x. cmul 9569   RR+crp 11330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-ltxr 9705  df-rp 11331

This theorem is referenced by:  reccn2  13708  eirrlem  14304  nrginvrcnlem  21741  ovolscalem1  22514  itg2gt0  22766  aaliou3lem1  23346  aaliou3lem2  23347  aaliou3lem8  23349  cosordlem  23528  logcnlem2  23636  cxp2limlem  23949  lgamgulmlem3  24004  lgamgulmlem4  24005  lgamgulmlem5  24006  lgamgulmlem6  24007  lgsquadlem2  24331  chtppilimlem1  24359  chtppilim  24361  chebbnd2  24363  chto1lb  24364  rplogsumlem1  24370  dchrvmasumlem1  24381  chpdifbndlem1  24439  chpdifbndlem2  24440  selberg3lem1  24443  selberg4lem1  24446  selberg4  24447  pntrlog2bndlem2  24464  pntrlog2bndlem3  24465  pntrlog2bndlem4  24466  pntrlog2bndlem5  24467  pntpbnd2  24473  pntlemd  24480  pntlema  24482  pntlemb  24483  pntlemq  24487  pntlemr  24488  pntlemj  24489  pntlemf  24491  pntlemo  24493  pntlem3  24495  pntleml  24497  pnt  24500  ttgcontlem1  24963  2sqmod  28457  faclimlem1  30427  faclimlem3  30429  faclim  30430  rrndstprj2  32207  pellfund14  35790  0ellimcdiv  37767  wallispilem3  37966  wallispilem4  37967  wallispi  37969  wallispi2lem1  37970  stirlinglem2  37974  stirlinglem3  37975  stirlinglem4  37976  stirlinglem6  37978  stirlinglem7  37979  stirlinglem10  37982  stirlinglem11  37983  stirlinglem12  37984  stirlinglem13  37985  stirlinglem14  37986  stirlinglem15  37987  stirlingr  37989  dirkertrigeqlem1  37997  dirkercncflem1  38002  dirkercncflem4  38005  hoiqssbllem1  38481  hoiqssbllem2  38482  hoiqssbllem3  38483