Theorem rpmulcld 11272

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpmulcl 11241	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767  (class class class)co 6284   x. cmul 9497   RR+crp 11220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-rp 11221

This theorem is referenced by:  reccn2  13382  eirrlem  13798  nrginvrcnlem  20962  ovolscalem1  21687  itg2gt0  21930  aaliou3lem1  22500  aaliou3lem2  22501  aaliou3lem8  22503  cosordlem  22679  logcnlem2  22780  cxp2limlem  23061  lgsquadlem2  23386  chtppilimlem1  23414  chtppilim  23416  chebbnd2  23418  chto1lb  23419  rplogsumlem1  23425  dchrvmasumlem1  23436  chpdifbndlem1  23494  chpdifbndlem2  23495  selberg3lem1  23498  selberg4lem1  23501  selberg4  23502  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem3  23520  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem5  23522  pntpbnd2  23528  pntlemd  23535  pntlema  23537  pntlemb  23538  pntlemq  23542  pntlemr  23543  pntlemj  23544  pntlemf  23546  pntlemo  23548  pntlem3  23550  pntleml  23552  pnt  23555  ttgcontlem1  23892  lgamgulmlem3  28241  lgamgulmlem4  28242  lgamgulmlem5  28243  lgamgulmlem6  28244  faclimlem1  28773  faclimlem3  28775  faclim  28776  rrndstprj2  29958  pellfund14  30466  0ellimcdiv  31219  wallispilem3  31395  wallispilem4  31396  wallispi  31398  wallispi2lem1  31399  stirlinglem2  31403  stirlinglem3  31404  stirlinglem4  31405  stirlinglem6  31407  stirlinglem7  31408  stirlinglem10  31411  stirlinglem11  31412  stirlinglem12  31413  stirlinglem13  31414  stirlinglem14  31415  stirlinglem15  31416  stirlingr  31418  dirkertrigeqlem1  31426  dirkercncflem1  31431  dirkercncflem4  31434