MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Structured version   Unicode version

Theorem rpmulcl 11237
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11222 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpre 11222 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3 remulcl 9573 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
5 elrp 11218 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6 elrp 11218 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
7 mulgt0 9658 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
85, 6, 7syl2anb 479 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  x.  B
) )
9 elrp 11218 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
104, 8, 9sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488    x. cmul 9493    < clt 9624   RR+crp 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-rp 11217
This theorem is referenced by:  rpmulcld  11268  moddi  12018  rpexpcl  12149  discr  12267  reccn2  13378  expcnv  13634  rpmsubg  18249  ovolscalem2  21660  aaliou3lem7  22479  aaliou3lem9  22480  cosordlem  22651  logfac  22713  loglesqrt  22860  divsqrtsumlem  23037  basellem1  23082  pclogsum  23218  bclbnd  23283  bposlem7  23293  bposlem8  23294  bposlem9  23295  chebbnd1lem2  23383  dchrisum0lem3  23432  chpdifbndlem2  23467  pntrsumbnd2  23480  pntpbnd1a  23498  pntpbnd2  23500  pntibnd  23506  pntlemd  23507  pntlema  23509  pntlemb  23510  pntlemf  23518  pntlemo  23520  minvecolem3  25468  fprodrpcl  28665  rprisefaccl  28722  ftc1anclem7  29673  ftc1anc  29675  isbnd2  29882  wallispilem4  31368  wallispi  31370  dirker2re  31392  dirkerdenne0  31393  dirkerval2  31394  dirkerper  31396  dirkertrigeq  31401  dirkercncflem2  31404  fourierdlem24  31431  sqwvfoura  31529  sqwvfourb  31530  taupilem1  36767  taupilem2  36768  taupi  36769
  Copyright terms: Public domain W3C validator