MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Structured version   Unicode version

Theorem rpmulcl 11015
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11000 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpre 11000 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3 remulcl 9370 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
5 elrp 10996 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6 elrp 10996 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
7 mulgt0 9455 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
85, 6, 7syl2anb 479 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  x.  B
) )
9 elrp 10996 . 2  |-  ( ( A  x.  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  x.  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
104, 8, 9sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  x.  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4295  (class class class)co 6094   RRcr 9284   0cc0 9285    x. cmul 9290    < clt 9421   RR+crp 10994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-ltxr 9426  df-rp 10995
This theorem is referenced by:  rpmulcld  11046  moddi  11769  rpexpcl  11887  discr  12004  reccn2  13077  expcnv  13329  rpmsubg  17879  ovolscalem2  21000  aaliou3lem7  21818  aaliou3lem9  21819  cosordlem  21990  logfac  22052  loglesqr  22199  divsqrsumlem  22376  basellem1  22421  pclogsum  22557  bclbnd  22622  bposlem7  22632  bposlem8  22633  bposlem9  22634  chebbnd1lem2  22722  dchrisum0lem3  22771  chpdifbndlem2  22806  pntrsumbnd2  22819  pntpbnd1a  22837  pntpbnd2  22839  pntibnd  22845  pntlemd  22846  pntlema  22848  pntlemb  22849  pntlemf  22857  pntlemo  22859  minvecolem3  24280  fprodrpcl  27472  rprisefaccl  27529  ftc1anclem7  28476  ftc1anc  28478  isbnd2  28685  wallispilem4  29866  wallispi  29868  taupilem1  35618  taupilem2  35619  taupi  35620
  Copyright terms: Public domain W3C validator