MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmsubg Structured version   Unicode version

Theorem rpmsubg 18617
Description: The positive reals form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
rpmsubg  |-  RR+  e.  (SubGrp `  M )

Proof of Theorem rpmsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmgpabl.m . 2  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
2 rpcn 11169 . 2  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3 rpne0 11176 . 2  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
4 rpmulcl 11183 . 2  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
5 1rp 11165 . 2  |-  1  e.  RR+
6 rpreccl 11185 . 2  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
71, 2, 3, 4, 5, 6cnmsubglem 18616 1  |-  RR+  e.  (SubGrp `  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1836    \ cdif 3403   {csn 3961   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   0cc0 9425   RR+crp 11161   ↾s cress 14658  SubGrpcsubg 16335  mulGrpcmgp 17277  ℂfldccnfld 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-tpos 6895  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-rp 11162  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-0g 14872  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-subg 16338  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-cring 17337  df-oppr 17408  df-dvdsr 17426  df-unit 17427  df-invr 17457  df-dvr 17468  df-drng 17534  df-cnfld 18557
This theorem is referenced by:  reefgim  22953  amgmlem  23459
  Copyright terms: Public domain W3C validator