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Theorem rplogsumlem2 23796
Description: Lemma for rplogsum 23838. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flid 11948 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  =  A )
21oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... A
) )
32sumeq1d 13535 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... A ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n ) )
4 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  n )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
5 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( p ^ k )  e. 
Prime ) )
6 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  (
p ^ k ) ) )
75, 6ifbieq1d 3967 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )
84, 7oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) ) )
9 id 22 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  n  =  ( p ^
k ) )
108, 9oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )
11 zre 10889 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
12 elfznn 11739 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
14 vmacl 23518 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1613nnrpd 11280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1716relogcld 23134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
18 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2115, 20resubcld 10008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  e.  RR )
2221, 13nndivred 10605 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  RR )
2322recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  CC )
24 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
(Λ `  n )  =  0 )
25 vmaprm 23517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =  ( log `  n ) )
26 prmnn 14232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2726nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  RR )
28 prmgt1 14248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  1  < 
n )
2927, 28rplogcld 23140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
3025, 29eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  e.  RR+ )
3130rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =/=  0 )
3231necon2bi 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Λ `  n )  =  0  ->  -.  n  e.  Prime )
3332ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  -.  n  e.  Prime )
3433iffalsed 3955 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
3524, 34oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
36 0m0e0 10666 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
3735, 36syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  0 )
3837oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  ( 0  /  n
) )
3912ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  NN )
4039nnrpd 11280 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  RR+ )
4140rpcnne0d 11290 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
42 div0 10256 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
4341, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
4438, 43eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  0 )
4510, 11, 23, 44fsumvma2 23615 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
463, 45eqtr3d 2500 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
47 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  e.  Fin )
48 inss2 3715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  Prime
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
5048, 49sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
51 prmnn 14232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
5352nnred 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
5411adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR )
55 zcn 10890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
5655abscld 13279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
57 peano2re 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5958adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
60 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  (
0 [,] A )
6160sseli 3495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i 
Prime )  ->  p  e.  ( 0 [,] A
) )
62 elicc2 11614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( p  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
6318, 11, 62sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A
) ) )
6461, 63syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  (
p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) )
6665simp3d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  A )
6755adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  CC )
6867abscld 13279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
6954leabsd 13258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
7068lep1d 10497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7154, 68, 59, 69, 70letrd 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7253, 54, 59, 66, 71letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
73 prmuz2 14247 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7450, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
75 nn0abscl 13157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )
76 nn0p1nn 10856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  +  1 )  e.  NN )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN )
7877nnzd 10989 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
7978adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
80 elfz5 11705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8174, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8272, 81mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8382ex 434 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
8483ssrdv 3505 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
85 ssfi 7759 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) 
C_  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
8647, 84, 85syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
87 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
88 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
8948, 88sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
90 elfznn 11739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
9190ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
92 vmappw 23516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  p
) )
9452adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
9594nnrpd 11280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  RR+ )
9695relogcld 23134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
9793, 96eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  e.  RR )
9891nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
99 nnexpcl 12182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
10094, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
101100nnrpd 11280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  RR+ )
102101relogcld 23134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR )
103 ifcl 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( ( p ^ k )  e. 
Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 )  e.  RR )
104102, 18, 103sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  e.  RR )
10597, 104resubcld 10008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  e.  RR )
106105, 100nndivred 10605 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  RR )
107106anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
10887, 107fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
10986, 108fsumrecl 13568 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11052nnrpd 11280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
111110relogcld 23134 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
112 uz2m1nn 11181 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( p  -  1 )  e.  NN )
11374, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
11452, 113nnmulcld 10604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
115111, 114nndivred 10605 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
11686, 115fsumrecl 13568 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
117 2re 10626 . . . 4  |-  2  e.  RR
118117a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
11918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  e.  RR )
12052nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  p )
121119, 53, 54, 120, 66ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  A )
12254, 121elrpd 11279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR+ )
123122relogcld 23134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  A
)  e.  RR )
124 prmgt1 14248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
12550, 124syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <  p )
12653, 125rplogcld 23140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
127123, 126rerpdivcld 11308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR )
128126rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  CC )
129128mulid2d 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  =  ( log `  p
) )
130110, 122logled 23138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  <_  A  <->  ( log `  p )  <_  ( log `  A
) ) )
13166, 130mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  <_  ( log `  A ) )
132129, 131eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  <_  ( log `  A
) )
133 1re 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  RR )
135134, 123, 126lemuldivd 11326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  x.  ( log `  p
) )  <_  ( log `  A )  <->  1  <_  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
136132, 135mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <_  ( ( log `  A )  / 
( log `  p
) ) )
137 flge1nn 11958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR  /\  1  <_ 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
138127, 136, 137syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
139 nnuz 11141 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
140138, 139syl6eleq 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
141106recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  CC )
142141anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
143 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
p ^ k )  =  ( p ^
1 ) )
144143fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  (Λ `  ( p ^ 1 ) ) )
145143eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( p ^ k
)  e.  Prime  <->  ( p ^ 1 )  e. 
Prime ) )
146143fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  ( log `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
147145, 146ifbieq1d 3967 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )
148144, 147oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) ) )
149148, 143oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) ) )
150140, 142, 149fsum1p 13580 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) ) )
15152nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  CC )
152151exp1d 12308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  =  p )
153152fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  (Λ `  p )
)
154 vmaprm 23517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  (Λ `  p
)  =  ( log `  p ) )
15550, 154syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  p )  =  ( log `  p
) )
156153, 155eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  ( log `  p
) )
157152, 50eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  e.  Prime )
158157iftrued 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
159152fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  (
p ^ 1 ) )  =  ( log `  p ) )
160158, 159eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  p
) )
161156, 160oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) ) )
162128subidd 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) )  =  0 )
163161, 162eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
164163, 152oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  ( 0  /  p
) )
165110rpcnne0d 11290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )
166 div0 10256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
167165, 166syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
168164, 167eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  0 )
169 1p1e2 10670 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
170169oveq1i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
171170a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) )
172 elfzuz 11709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
173 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
175174, 170eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
17650, 175, 92syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
17752adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
178 nnq 11220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  QQ )
179177, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  QQ )
180172, 170eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
181180adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
182 expnprm 14433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
183179, 181, 182syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
184183iffalsed 3955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
185176, 184oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p )  -  0 ) )
186128subid1d 9939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
187186adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
188185, 187eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( log `  p ) )
189188oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
190171, 189sumeq12dv 13540 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
191168, 190oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )  =  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) ) )
192 fzfid 12086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
193111adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  RR )
194 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
19552, 194, 99syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  NN )
196193, 195nndivred 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
197174, 196sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
198192, 197fsumrecl 13568 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
199198recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
200199addid2d 9798 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )
201150, 191, 2003eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
202110rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR+ )
203127flcld 11938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ZZ )
204203peano2zd 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ZZ )
205202, 204rpexpcld 12336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
206205rpge0d 11285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
20752nnrecred 10602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR )
208207resqcld 12339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  e.  RR )
209138peano2nnd 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  NN )
210209nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
211207, 210reexpcld 12330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
212208, 211subge02d 10165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  p ) ^ 2 ) ) )
213206, 212mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  p ) ^
2 ) )
214113nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  RR+ )
215214rpcnne0d 11290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )
216202rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  CC )
217 dmdcan 10275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 )  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  (
1  /  p )  e.  CC )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
218215, 165, 216, 217syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
219134recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  CC )
220 divsubdir 10261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )  ->  ( ( p  -  1 )  /  p )  =  ( ( p  /  p
)  -  ( 1  /  p ) ) )
221151, 219, 165, 220syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( ( p  /  p )  -  ( 1  /  p ) ) )
222 divid 10255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
223165, 222syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
224223oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  /  p )  -  (
1  /  p ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
225221, 224eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
226 divdiv1 10276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  ( ( p  -  1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
227219, 165, 215, 226syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
228225, 227oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) )
22952nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  =/=  0 )
230216, 151, 229divrecd 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
231216sqvald 12310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
232230, 231eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
233218, 228, 2323eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  /  p
) )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
234213, 233breqtrrd 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
235208, 211resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
236114nnrecred 10602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
237 resubcl 9902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  p
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  /  p
) )  e.  RR )
238133, 207, 237sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR )
239 recgt1 10461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  RR  /\  0  <  p )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
24053, 120, 239syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
241125, 240mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  <  1 )
242 posdif 10066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
243207, 133, 242sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
244241, 243mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
245 ledivmul 10439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
246235, 236, 238, 244, 245syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
247234, 246mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
248238, 244elrpd 11279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR+ )
249235, 248rerpdivcld 11308 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  e.  RR )
250249, 236, 126lemul2d 11321 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  ( ( log `  p )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) ) )
251247, 250mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  (
( log `  p
)  x.  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
252128adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  CC )
253195nncnd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  CC )
254195nnne0d 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  =/=  0 )
255252, 253, 254divrecd 10344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
256151adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  CC )
25752adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  NN )
258257nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  =/=  0 )
259 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
260259adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
261256, 258, 260exprecd 12321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( p ^
k ) ) )
262261oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  x.  ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
263255, 262eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
264174, 263sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
265264sumeq2dv 13537 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
266174nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
267 expcl 12187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ k
)  e.  CC )
268216, 266, 267syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  p
) ^ k )  e.  CC )
269192, 128, 268fsummulc2 13611 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
270 fzval3 11888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ZZ  ->  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
271203, 270syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
272271sumeq1d 13535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
) )
273207, 241ltned 9738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  =/=  1 )
274 2nn0 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
275274a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
2  e.  NN0 )
276 eluzp1p1 11131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
277140, 276syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
278 df-2 10615 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
279278fveq2i 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
280277, 279syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
281216, 273, 275, 280geoserg 13689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )
282272, 281eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
283282oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) ) )
284265, 269, 2833eqtr2d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) ) )
285114nncnd 10572 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  CC )
286114nnne0d 10601 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  =/=  0 )
287128, 285, 286divrecd 10344 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) ) )
288251, 284, 2873brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
289201, 288eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
29086, 108, 115, 289fsumle 13625 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
291 elfzuz 11709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
292 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  p  e.  NN )
293291, 292syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  NN )
294293adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  NN )
295294nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  RR )
296291adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
297 eluz2b2 11179 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
298297simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
299296, 298syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
1  <  p )
300295, 299rplogcld 23140 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
301296, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
302294, 301nnmulcld 10604 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
303302nnrpd 11280 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  RR+ )
304300, 303rpdivcld 11298 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
305304rpred 11281 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
30647, 305fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
307304rpge0d 11285 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
30847, 305, 307, 84fsumless 13622 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  sum_ p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
309 rplogsumlem1 23795 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
31077, 309syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
311116, 306, 118, 308, 310letrd 9756 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  2 )
312109, 116, 118, 290, 311letrd 9756 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  2 )
31346, 312eqbrtrd 4476 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   QQcq 11207   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   |_cfl 11930   ^cexp 12169   abscabs 13079   sum_csu 13520   Primecprime 14229   logclog 23068  Λcvma 23491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-vma 23497
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