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Theorem rplogsumlem2 22739
Description: Lemma for rplogsum 22781. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flid 11662 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  =  A )
21oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... A
) )
32sumeq1d 13183 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... A ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n ) )
4 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  n )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
5 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( p ^ k )  e. 
Prime ) )
6 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  (
p ^ k ) ) )
75, 6ifbieq1d 3817 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )
84, 7oveq12d 6114 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) ) )
9 id 22 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  n  =  ( p ^
k ) )
108, 9oveq12d 6114 . . . 4  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )
11 zre 10655 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
12 elfznn 11483 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
14 vmacl 22461 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1613nnrpd 11031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1716relogcld 22077 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
18 0re 9391 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
19 ifcl 3836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2115, 20resubcld 9781 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  e.  RR )
2221, 13nndivred 10375 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  RR )
2322recnd 9417 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  CC )
24 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
(Λ `  n )  =  0 )
25 vmaprm 22460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =  ( log `  n ) )
26 prmnn 13771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2726nnred 10342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  RR )
28 prmuz2 13786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
29 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) )
3029simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  n )
3128, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  1  < 
n )
3227, 31rplogcld 22083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
3325, 32eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  e.  RR+ )
3433rpne0d 11037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =/=  0 )
3534necon2bi 2662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Λ `  n )  =  0  ->  -.  n  e.  Prime )
3635ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  -.  n  e.  Prime )
37 iffalse 3804 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
3836, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
3924, 38oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
40 0m0e0 10436 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4139, 40syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  0 )
4241oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  ( 0  /  n
) )
4312ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  NN )
4443nnrpd 11031 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  RR+ )
4544rpcnne0d 11041 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
46 div0 10027 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
4842, 47eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  0 )
4910, 11, 23, 48fsumvma2 22558 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
503, 49eqtr3d 2477 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
51 fzfid 11800 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  e.  Fin )
52 inss2 3576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  Prime
53 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
5452, 53sseldi 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
55 prmnn 13771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
5756nnred 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
5811adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR )
59 zcn 10656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
6059abscld 12927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
61 peano2re 9547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
6362adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
64 inss1 3575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  (
0 [,] A )
6564sseli 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i 
Prime )  ->  p  e.  ( 0 [,] A
) )
66 elicc2 11365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( p  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
6718, 11, 66sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A
) ) )
6865, 67syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  (
p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
6968imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) )
7069simp3d 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  A )
7159adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  CC )
7271abscld 12927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
7358leabsd 12906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
7472lep1d 10269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7558, 72, 63, 73, 74letrd 9533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7657, 58, 63, 70, 75letrd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
77 prmuz2 13786 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7854, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
79 nn0abscl 12806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )
80 nn0p1nn 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  +  1 )  e.  NN )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN )
8281nnzd 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
8382adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
84 elfz5 11450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8578, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8676, 85mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8786ex 434 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
8887ssrdv 3367 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
89 ssfi 7538 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) 
C_  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
9051, 88, 89syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
91 fzfid 11800 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
92 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
9352, 92sseldi 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
94 elfznn 11483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
9594ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
96 vmappw 22459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
9793, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  p
) )
9856adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
9998nnrpd 11031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  RR+ )
10099relogcld 22077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
10197, 100eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  e.  RR )
10295nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
103 nnexpcl 11883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
10498, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
105104nnrpd 11031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  RR+ )
106105relogcld 22077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR )
107 ifcl 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( ( p ^ k )  e. 
Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 )  e.  RR )
108106, 18, 107sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  e.  RR )
109101, 108resubcld 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  e.  RR )
110109, 104nndivred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  RR )
111110anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11291, 111fsumrecl 13216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
11390, 112fsumrecl 13216 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11456nnrpd 11031 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
115114relogcld 22077 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
116 uz2m1nn 10934 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( p  -  1 )  e.  NN )
11778, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
11856, 117nnmulcld 10374 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
119115, 118nndivred 10375 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
12090, 119fsumrecl 13216 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
121 2re 10396 . . . 4  |-  2  e.  RR
122121a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
12318a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  e.  RR )
12456nngt0d 10370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  p )
125123, 57, 58, 124, 70ltletrd 9536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  A )
12658, 125elrpd 11030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR+ )
127126relogcld 22077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  A
)  e.  RR )
128 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
129128simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
13077, 129syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
13154, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <  p )
13257, 131rplogcld 22083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
133127, 132rerpdivcld 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR )
134132rpcnd 11034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  CC )
135134mulid2d 9409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  =  ( log `  p
) )
136114, 126logled 22081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  <_  A  <->  ( log `  p )  <_  ( log `  A
) ) )
13770, 136mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  <_  ( log `  A ) )
138135, 137eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  <_  ( log `  A
) )
139 1re 9390 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
140139a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  RR )
141140, 127, 132lemuldivd 11077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  x.  ( log `  p
) )  <_  ( log `  A )  <->  1  <_  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
142138, 141mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <_  ( ( log `  A )  / 
( log `  p
) ) )
143 flge1nn 11672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR  /\  1  <_ 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
144133, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
145 nnuz 10901 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
146144, 145syl6eleq 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
147110recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  CC )
148147anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
149 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
p ^ k )  =  ( p ^
1 ) )
150149fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  (Λ `  ( p ^ 1 ) ) )
151149eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( p ^ k
)  e.  Prime  <->  ( p ^ 1 )  e. 
Prime ) )
152149fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  ( log `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
153151, 152ifbieq1d 3817 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )
154150, 153oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) ) )
155154, 149oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) ) )
156146, 148, 155fsum1p 13227 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) ) )
15756nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  CC )
158157exp1d 12008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  =  p )
159158fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  (Λ `  p )
)
160 vmaprm 22460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  (Λ `  p
)  =  ( log `  p ) )
16154, 160syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  p )  =  ( log `  p
) )
162159, 161eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  ( log `  p
) )
163158, 54eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  e.  Prime )
164 iftrue 3802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ^ 1 )  e.  Prime  ->  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
166158fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  (
p ^ 1 ) )  =  ( log `  p ) )
167165, 166eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  p
) )
168162, 167oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) ) )
169134subidd 9712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) )  =  0 )
170168, 169eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
171170, 158oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  ( 0  /  p
) )
172114rpcnne0d 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )
173 div0 10027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
174172, 173syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
175171, 174eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  0 )
176 1p1e2 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
177176oveq1i 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
178177a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) )
179 elfzuz 11454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
180 eluz2b2 10932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
181180simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
182179, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
183182, 177eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
18454, 183, 96syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
18556adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
186 nnq 10971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  QQ )
187185, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  QQ )
188179, 177eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
189188adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
190 expnprm 13969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
191187, 189, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
192 iffalse 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p ^ k
)  e.  Prime  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
194184, 193oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p )  -  0 ) )
195134subid1d 9713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
196195adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
197194, 196eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( log `  p ) )
198197oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
199178, 198sumeq12dv 13188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
200175, 199oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )  =  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) ) )
201 fzfid 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
202115adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  RR )
203 nnnn0 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
20456, 203, 103syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  NN )
205202, 204nndivred 10375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
206182, 205sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
207201, 206fsumrecl 13216 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
208207recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
209208addid2d 9575 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )
210156, 200, 2093eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
211114rpreccld 11042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR+ )
212133flcld 11653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ZZ )
213212peano2zd 10755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ZZ )
214211, 213rpexpcld 12036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
215214rpge0d 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
21656nnrecred 10372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR )
217216resqcld 12039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  e.  RR )
218144peano2nnd 10344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  NN )
219218nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
220216, 219reexpcld 12030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
221217, 220subge02d 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  p ) ^ 2 ) ) )
222215, 221mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  p ) ^
2 ) )
223117nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  RR+ )
224223rpcnne0d 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )
225211rpcnd 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  CC )
226 dmdcan 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 )  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  (
1  /  p )  e.  CC )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
227224, 172, 225, 226syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
228140recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  CC )
229 divsubdir 10032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )  ->  ( ( p  -  1 )  /  p )  =  ( ( p  /  p
)  -  ( 1  /  p ) ) )
230157, 228, 172, 229syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( ( p  /  p )  -  ( 1  /  p ) ) )
231 divid 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
232172, 231syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
233232oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  /  p )  -  (
1  /  p ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
234230, 233eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
235 divdiv1 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  ( ( p  -  1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
236228, 172, 224, 235syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
237234, 236oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) )
23856nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  =/=  0 )
239225, 157, 238divrecd 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
240225sqvald 12010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
241239, 240eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
242227, 237, 2413eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  /  p
) )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
243222, 242breqtrrd 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
244217, 220resubcld 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
245118nnrecred 10372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
246 resubcl 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  p
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  /  p
) )  e.  RR )
247139, 216, 246sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR )
248 recgt1 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  RR  /\  0  <  p )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
24957, 124, 248syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
250131, 249mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  <  1 )
251 posdif 9837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
252216, 139, 251sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
253250, 252mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
254 ledivmul 10210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
255244, 245, 247, 253, 254syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
256243, 255mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
257247, 253elrpd 11030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR+ )
258244, 257rerpdivcld 11059 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  e.  RR )
259258, 245, 132lemul2d 11072 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  ( ( log `  p )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) ) )
260256, 259mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  (
( log `  p
)  x.  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
261134adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  CC )
262204nncnd 10343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  CC )
263204nnne0d 10371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  =/=  0 )
264261, 262, 263divrecd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
265157adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  CC )
26656adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  NN )
267266nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  =/=  0 )
268 nnz 10673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
269268adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
270265, 267, 269exprecd 12021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( p ^
k ) ) )
271270oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  x.  ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
272264, 271eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
273182, 272sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
274273sumeq2dv 13185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
275182nnnn0d 10641 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
276 expcl 11888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ k
)  e.  CC )
277225, 275, 276syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  p
) ^ k )  e.  CC )
278201, 134, 277fsummulc2 13256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
279 fzval3 11610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ZZ  ->  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
280212, 279syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
281280sumeq1d 13183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
) )
282216, 250ltned 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  =/=  1 )
283 2nn0 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
284283a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
2  e.  NN0 )
285 eluzp1p1 10891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
286146, 285syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
287 df-2 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
288287fveq2i 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
289286, 288syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
290225, 282, 284, 289geoserg 13333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )
291281, 290eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
292291oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) ) )
293274, 278, 2923eqtr2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) ) )
294118nncnd 10343 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  CC )
295118nnne0d 10371 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  =/=  0 )
296134, 294, 295divrecd 10115 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) ) )
297260, 293, 2963brtr4d 4327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
298210, 297eqbrtrd 4317 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
29990, 112, 119, 298fsumle 13267 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
300 elfzuz 11454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
301128simplbi 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  p  e.  NN )
302300, 301syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  NN )
303302adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  NN )
304303nnred 10342 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  RR )
305300adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
306305, 129syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
1  <  p )
307304, 306rplogcld 22083 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
308305, 116syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
309303, 308nnmulcld 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
310309nnrpd 11031 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  RR+ )
311307, 310rpdivcld 11049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
312311rpred 11032 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
31351, 312fsumrecl 13216 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
314311rpge0d 11036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
31551, 312, 314, 88fsumless 13264 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  sum_ p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
316 rplogsumlem1 22738 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
31781, 316syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
318120, 313, 122, 315, 317letrd 9533 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  2 )
319113, 120, 122, 299, 318letrd 9533 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  2 )
32050, 319eqbrtrd 4317 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   QQcq 10958   RR+crp 10996   [,]cicc 11308   ...cfz 11442  ..^cfzo 11553   |_cfl 11645   ^cexp 11870   abscabs 12728   sum_csu 13168   Primecprime 13768   logclog 22011  Λcvma 22434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014  df-vma 22440
This theorem is referenced by:  rplogsum  22781
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