Theorem rplogsumlem2 21132

Description: Lemma for rplogsum 21174. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem2	|- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 11171	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( |_ ` A ) = A )
2	1	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( 1 ... A ) )
3	2	sumeq1d 12450	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) )
4		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> (Λ ` n ) = (Λ ` ( p ^ k ) ) )
5		eleq1 2464	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( n e. Prime <-> ( p ^ k ) e. Prime ) )
6		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( log ` n ) = ( log ` ( p ^ k ) ) )
7		eqidd 2405	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> 0 = 0 )
8	5, 6, 7	ifbieq12d 3721	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) )
9	4, 8	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) )
10		id 20	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> n = ( p ^ k ) )
11	9, 10	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
12		zre 10242	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
13		elfznn 11036	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
14	13	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
15		vmacl 20854	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
17	14	nnrpd 10603	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR+ )
18	17	relogcld 20471	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
19		0re 9047	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
20		ifcl 3735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
21	18, 19, 20	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
22	16, 21	resubcld 9421	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) e. RR )
23	22, 14	nndivred 10004	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. RR )
24	23	recnd 9070	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. CC )
25		simprr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> (Λ ` n ) = 0 )
26		vmaprm 20853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) = ( log ` n ) )
27		prmnn 13037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
28	27	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. RR )
29		prmuz2 13052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Prime -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
30		eluz2b2 10504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( n e. NN /\ 1 < n ) )
31	30	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < n )
32	29, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> 1 < n )
33	28, 32	rplogcld 20477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> ( log ` n ) e. RR+ )
34	26, 33	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) e. RR+ )
35	34	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) =/= 0 )
36	35	necon2bi 2613	. . . . . . . . . 10 |- ( (Λ ` n ) = 0 -> -. n e. Prime )
37	36	ad2antll 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> -. n e. Prime )
38		iffalse 3706	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = 0 )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = 0 )
40	25, 39	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( 0 - 0 ) )
41		0cn 9040	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
42	41	subidi 9327	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
43	40, 42	syl6eq 2452	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = 0 )
44	43	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( 0 / n ) )
45	13	ad2antrl 709	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. NN )
46	45	nnrpd 10603	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. RR+ )
47	46	rpcnne0d 10613	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
48		div0 9662	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ n =/= 0 ) -> ( 0 / n ) = 0 )
49	47, 48	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( 0 / n ) = 0 )
50	44, 49	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = 0 )
51	11, 12, 24, 50	fsumvma2 20951	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
52	3, 51	eqtr3d 2438	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
53		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
54		inss2 3522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ Prime
55		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
56	54, 55	sseldi 3306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. Prime )
57		prmnn 13037	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. NN )
59	58	nnred 9971	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR )
60	12	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR )
61		zcn 10243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
62	61	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. RR )
63		peano2re 9195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` A ) e. RR -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
65	64	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
66		inss1 3521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 0 [,] A )
67	66	sseli 3304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 0 [,] A ) )
68		elicc2 10931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
69	19, 12, 68	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
70	67, 69	syl5ib 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
71	70	imp 419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) )
72	71	simp3d 971	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ A )
73	61	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. CC )
74	73	abscld 12193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
75	60	leabsd 12172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( abs ` A ) )
76	74	lep1d 9898	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
77	60, 74, 65, 75, 76	letrd 9183	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
78	59, 60, 65, 72, 77	letrd 9183	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
79		prmuz2 13052	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
80	56, 79	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81		nn0abscl 12072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )
82		nn0p1nn 10215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) e. NN0 -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
83	81, 82	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
84	83	nnzd 10330	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
85	84	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
86		elfz5 11007	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
87	80, 85, 86	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
88	78, 87	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
89	88	ex 424	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) )
90	89	ssrdv 3314	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
91		ssfi 7288	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
92	53, 90, 91	syl2anc 643	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
93		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
94		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
95	54, 94	sseldi 3306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. Prime )
96		elfznn 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
97	96	ad2antll 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
98		vmappw 20852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ k e. NN ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
99	95, 97, 98	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
100	58	adantrr 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. NN )
101	100	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. RR+ )
102	101	relogcld 20471	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
103	99, 102	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR )
104	97	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN0 )
105		nnexpcl 11349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
106	100, 104, 105	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
107	106	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. RR+ )
108	107	relogcld 20471	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR )
109		ifcl 3735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
110	108, 19, 109	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
111	103, 110	resubcld 9421	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) e. RR )
112	111, 106	nndivred 10004	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
113	112	anassrs 630	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
114	93, 113	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
115	92, 114	fsumrecl 12483	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
116	58	nnrpd 10603	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR+ )
117	116	relogcld 20471	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
118		uz2m1nn 10506	. . . . . . 7 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( p - 1 ) e. NN )
119	80, 118	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
120	58, 119	nnmulcld 10003	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
121	117, 120	nndivred 10004	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
122	92, 121	fsumrecl 12483	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
123		2re 10025	. . . 4 |- 2 e. RR
124	123	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ZZ -> 2 e. RR )
125	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 e. RR )
126	58	nngt0d 9999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < p )
127	125, 59, 60, 126, 72	ltletrd 9186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < A )
128	60, 127	elrpd 10602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR+ )
129	128	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
130		eluz2b2 10504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
131	130	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
132	79, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> 1 < p )
133	56, 132	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 < p )
134	59, 133	rplogcld 20477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
135	129, 134	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR )
136	134	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. CC )
137	136	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) = ( log ` p ) )
138	116, 128	logled 20475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p <_ A <-> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) ) )
139	72, 138	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) )
140	137, 139	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) )
141		1re 9046	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. RR )
143	142, 129, 134	lemuldivd 10649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) <-> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
144	140, 143	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) )
145		flge1nn 11181	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR /\ 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
146	135, 144, 145	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
147		nnuz 10477	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
148	146, 147	syl6eleq 2494	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
149	112	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
150	149	anassrs 630	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
151		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( p ^ k ) = ( p ^ 1 ) )
152	151	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = (Λ ` ( p ^ 1 ) ) )
153	151	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( p ^ k ) e. Prime <-> ( p ^ 1 ) e. Prime ) )
154	151	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( log ` ( p ^ k ) ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
155		eqidd 2405	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> 0 = 0 )
156	153, 154, 155	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) )
157	152, 156	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) )
158	157, 151	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) )
159	148, 150, 158	fsum1p 12494	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
160	58	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. CC )
161	160	exp1d 11473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
162	161	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = (Λ ` p ) )
163		vmaprm 20853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
164	56, 163	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
165	162, 164	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
166	161, 56	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) e. Prime )
167		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p ^ 1 ) e. Prime -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
168	166, 167	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
169	161	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
170	168, 169	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` p ) )
171	165, 170	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) )
172	136	subidd 9355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) = 0 )
173	171, 172	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = 0 )
174	173, 161	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = ( 0 / p ) )
175	116	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. CC /\ p =/= 0 ) )
176		div0 9662	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( 0 / p ) = 0 )
177	175, 176	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 / p ) = 0 )
178	174, 177	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = 0 )
179		1p1e2 10050	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
180	179	oveq1i 6050	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
181	180	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) )
182		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
183		eluz2b2 10504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( k e. NN /\ 1 < k ) )
184	183	simplbi 447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
185	182, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
186	185, 180	eleq2s 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
187	56, 186, 98	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
188	58	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. NN )
189		nnq 10543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
190	188, 189	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. QQ )
191	182, 180	eleq2s 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
192	191	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
193		expnprm 13226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. QQ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
194	190, 192, 193	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
195		iffalse 3706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( p ^ k ) e. Prime -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = 0 )
196	194, 195	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = 0 )
197	187, 196	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - 0 ) )
198	136	subid1d 9356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
199	198	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
200	197, 199	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( log ` p ) )
201	200	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
202	181, 201	sumeq12dv 12455	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
203	178, 202	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) )
204		fzfid 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
205	117	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. RR )
206		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
207	58, 206, 105	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
208	205, 207	nndivred 10004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
209	185, 208	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
210	204, 209	fsumrecl 12483	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
211	210	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
212	211	addid2d 9223	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
213	159, 203, 212	3eqtrd 2440	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
214	116	rpreccld 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR+ )
215	135	flcld 11162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ )
216	215	peano2zd 10334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
217	214, 216	rpexpcld 11501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
218	217	rpge0d 10608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
219	58	nnrecred 10001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR )
220	219	resqcld 11504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) e. RR )
221	146	peano2nnd 9973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN )
222	221	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
223	219, 222	reexpcld 11495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
224	220, 223	subge02d 9574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) ) )
225	218, 224	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
226	119	nnrpd 10603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. RR+ )
227	226	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) )
228	214	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. CC )
229		dmdcan 9680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( 1 / p ) e. CC ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
230	227, 175, 228, 229	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
231	142	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. CC )
232		divsubdir 9666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. CC /\ 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
233	160, 231, 175, 232	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
234		divid 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( p / p ) = 1 )
235	175, 234	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p / p ) = 1 )
236	235	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
237	233, 236	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
238		divdiv1 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
239	231, 175, 227, 238	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
240	237, 239	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
241	58	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p =/= 0 )
242	228, 160, 241	divrecd 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
243	228	sqvald 11475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
244	242, 243	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
245	230, 240, 244	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
246	225, 245	breqtrrd 4198	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
247	220, 223	resubcld 9421	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
248	120	nnrecred 10001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
249		resubcl 9321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / p ) e. RR ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
250	141, 219, 249	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
251		recgt1 9862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. RR /\ 0 < p ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
252	59, 126, 251	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
253	133, 252	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) < 1 )
254		posdif 9477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
255	219, 141, 254	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
256	253, 255	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) )
257		ledivmul 9839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
258	247, 248, 250, 256, 257	syl112anc 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
259	246, 258	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
260	250, 256	elrpd 10602	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR+ )
261	247, 260	rerpdivcld 10631	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) e. RR )
262	261, 248, 134	lemul2d 10644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
263	259, 262	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
264	136	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. CC )
265	207	nncnd 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. CC )
266	207	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) =/= 0 )
267	264, 265, 266	divrecd 9749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
268	160	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. CC )
269	58	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
270	269	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p =/= 0 )
271		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
272	271	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
273	268, 270, 272	exprecd 11486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( 1 / ( p ^ k ) ) )
274	273	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
275	267, 274	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
276	185, 275	sylan2 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
277	276	sumeq2dv 12452	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
278	185	nnnn0d 10230	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN0 )
279		expcl 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / p ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
280	228, 278, 279	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
281	204, 136, 280	fsummulc2 12522	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
282		fzval3 11135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
283	215, 282	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
284	283	sumeq1d 12450	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) )
285	219, 253	ltned 9165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) =/= 1 )
286		2nn0 10194	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
287	286	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 2 e. NN0 )
288		eluzp1p1 10467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
289	148, 288	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
290		df-2 10014	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
291	290	fveq2i 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
292	289, 291	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
293	228, 285, 287, 292	geoserg 12600	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
294	284, 293	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
295	294	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
296	277, 281, 295	3eqtr2d 2442	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
297	120	nncnd 9972	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. CC )
298	120	nnne0d 10000	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) =/= 0 )
299	136, 297, 298	divrecd 9749	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
300	263, 296, 299	3brtr4d 4202	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
301	213, 300	eqbrtrd 4192	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
302	92, 114, 121, 301	fsumle 12533	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
303		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
304	130	simplbi 447	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. NN )
305	303, 304	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. NN )
306	305	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. NN )
307	306	nnred 9971	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. RR )
308	303	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
309	308, 131	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 1 < p )
310	307, 309	rplogcld 20477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
311	308, 118	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
312	306, 311	nnmulcld 10003	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
313	312	nnrpd 10603	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. RR+ )
314	310, 313	rpdivcld 10621	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR+ )
315	314	rpred 10604	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
316	53, 315	fsumrecl 12483	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
317	314	rpge0d 10608	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
318	53, 315, 317, 90	fsumless 12530	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
319		rplogsumlem1 21131	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
320	83, 319	syl 16	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
321	122, 316, 124, 318, 320	letrd 9183	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
322	115, 122, 124, 302, 321	letrd 9183	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ 2 )
323	52, 322	eqbrtrd 4192	1 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   QQcq 10530   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   |_cfl 11156   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   Primecprime 13034   logclog 20405  Λcvma 20827

This theorem is referenced by:  rplogsum  21174

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-vma 20833