Theorem rplogsumlem2 23796

Description: Lemma for rplogsum 23838. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem2	|- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 11948	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( |_ ` A ) = A )
2	1	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( 1 ... A ) )
3	2	sumeq1d 13535	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) )
4		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> (Λ ` n ) = (Λ ` ( p ^ k ) ) )
5		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( n e. Prime <-> ( p ^ k ) e. Prime ) )
6		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( log ` n ) = ( log ` ( p ^ k ) ) )
7	5, 6	ifbieq1d 3967	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) )
8	4, 7	oveq12d 6314	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) )
9		id 22	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> n = ( p ^ k ) )
10	8, 9	oveq12d 6314	. . . 4 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
11		zre 10889	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
12		elfznn 11739	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
13	12	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
14		vmacl 23518	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
16	13	nnrpd 11280	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR+ )
17	16	relogcld 23134	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
18		0re 9613	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
19		ifcl 3986	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
21	15, 20	resubcld 10008	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) e. RR )
22	21, 13	nndivred 10605	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. RR )
23	22	recnd 9639	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. CC )
24		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> (Λ ` n ) = 0 )
25		vmaprm 23517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) = ( log ` n ) )
26		prmnn 14232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
27	26	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. RR )
28		prmgt1 14248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> 1 < n )
29	27, 28	rplogcld 23140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> ( log ` n ) e. RR+ )
30	25, 29	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) e. RR+ )
31	30	rpne0d 11286	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) =/= 0 )
32	31	necon2bi 2694	. . . . . . . . . 10 |- ( (Λ ` n ) = 0 -> -. n e. Prime )
33	32	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> -. n e. Prime )
34	33	iffalsed 3955	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = 0 )
35	24, 34	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( 0 - 0 ) )
36		0m0e0 10666	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
37	35, 36	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = 0 )
38	37	oveq1d 6311	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( 0 / n ) )
39	12	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. NN )
40	39	nnrpd 11280	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. RR+ )
41	40	rpcnne0d 11290	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
42		div0 10256	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ n =/= 0 ) -> ( 0 / n ) = 0 )
43	41, 42	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( 0 / n ) = 0 )
44	38, 43	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = 0 )
45	10, 11, 23, 44	fsumvma2 23615	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
46	3, 45	eqtr3d 2500	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
47		fzfid 12086	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
48		inss2 3715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ Prime
49		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
50	48, 49	sseldi 3497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. Prime )
51		prmnn 14232	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. NN )
53	52	nnred 10571	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR )
54	11	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR )
55		zcn 10890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
56	55	abscld 13279	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. RR )
57		peano2re 9770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` A ) e. RR -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
59	58	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
60		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 0 [,] A )
61	60	sseli 3495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 0 [,] A ) )
62		elicc2 11614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
63	18, 11, 62	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
64	61, 63	syl5ib 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
65	64	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) )
66	65	simp3d 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ A )
67	55	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. CC )
68	67	abscld 13279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
69	54	leabsd 13258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( abs ` A ) )
70	68	lep1d 10497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
71	54, 68, 59, 69, 70	letrd 9756	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
72	53, 54, 59, 66, 71	letrd 9756	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
73		prmuz2 14247	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
74	50, 73	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
75		nn0abscl 13157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )
76		nn0p1nn 10856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) e. NN0 -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
77	75, 76	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
78	77	nnzd 10989	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
80		elfz5 11705	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
82	72, 81	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
83	82	ex 434	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) )
84	83	ssrdv 3505	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
85		ssfi 7759	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
86	47, 84, 85	syl2anc 661	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
87		fzfid 12086	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
88		simprl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
89	48, 88	sseldi 3497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. Prime )
90		elfznn 11739	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
91	90	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
92		vmappw 23516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ k e. NN ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
94	52	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. NN )
95	94	nnrpd 11280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. RR+ )
96	95	relogcld 23134	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
97	93, 96	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR )
98	91	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN0 )
99		nnexpcl 12182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
100	94, 98, 99	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
101	100	nnrpd 11280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. RR+ )
102	101	relogcld 23134	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR )
103		ifcl 3986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
104	102, 18, 103	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
105	97, 104	resubcld 10008	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) e. RR )
106	105, 100	nndivred 10605	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
107	106	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
108	87, 107	fsumrecl 13568	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
109	86, 108	fsumrecl 13568	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
110	52	nnrpd 11280	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR+ )
111	110	relogcld 23134	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
112		uz2m1nn 11181	. . . . . . 7 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( p - 1 ) e. NN )
113	74, 112	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
114	52, 113	nnmulcld 10604	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
115	111, 114	nndivred 10605	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
116	86, 115	fsumrecl 13568	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
117		2re 10626	. . . 4 |- 2 e. RR
118	117	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ZZ -> 2 e. RR )
119	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 e. RR )
120	52	nngt0d 10600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < p )
121	119, 53, 54, 120, 66	ltletrd 9759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < A )
122	54, 121	elrpd 11279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR+ )
123	122	relogcld 23134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
124		prmgt1 14248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> 1 < p )
125	50, 124	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 < p )
126	53, 125	rplogcld 23140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
127	123, 126	rerpdivcld 11308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR )
128	126	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. CC )
129	128	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) = ( log ` p ) )
130	110, 122	logled 23138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p <_ A <-> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) ) )
131	66, 130	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) )
132	129, 131	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) )
133		1re 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. RR )
135	134, 123, 126	lemuldivd 11326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) <-> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
136	132, 135	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) )
137		flge1nn 11958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR /\ 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
138	127, 136, 137	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
139		nnuz 11141	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
140	138, 139	syl6eleq 2555	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	106	recnd 9639	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
142	141	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
143		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( p ^ k ) = ( p ^ 1 ) )
144	143	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = (Λ ` ( p ^ 1 ) ) )
145	143	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( p ^ k ) e. Prime <-> ( p ^ 1 ) e. Prime ) )
146	143	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( log ` ( p ^ k ) ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
147	145, 146	ifbieq1d 3967	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) )
148	144, 147	oveq12d 6314	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) )
149	148, 143	oveq12d 6314	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) )
150	140, 142, 149	fsum1p 13580	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
151	52	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. CC )
152	151	exp1d 12308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
153	152	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = (Λ ` p ) )
154		vmaprm 23517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
155	50, 154	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
156	153, 155	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
157	152, 50	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) e. Prime )
158	157	iftrued 3952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
159	152	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
160	158, 159	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` p ) )
161	156, 160	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) )
162	128	subidd 9938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) = 0 )
163	161, 162	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = 0 )
164	163, 152	oveq12d 6314	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = ( 0 / p ) )
165	110	rpcnne0d 11290	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. CC /\ p =/= 0 ) )
166		div0 10256	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( 0 / p ) = 0 )
167	165, 166	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 / p ) = 0 )
168	164, 167	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = 0 )
169		1p1e2 10670	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
170	169	oveq1i 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
171	170	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) )
172		elfzuz 11709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
173		eluz2nn 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
174	172, 173	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
175	174, 170	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
176	50, 175, 92	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
177	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. NN )
178		nnq 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
179	177, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. QQ )
180	172, 170	eleq2s 2565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
181	180	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
182		expnprm 14433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. QQ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
183	179, 181, 182	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
184	183	iffalsed 3955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = 0 )
185	176, 184	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - 0 ) )
186	128	subid1d 9939	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
187	186	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
188	185, 187	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( log ` p ) )
189	188	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
190	171, 189	sumeq12dv 13540	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
191	168, 190	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) )
192		fzfid 12086	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
193	111	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. RR )
194		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
195	52, 194, 99	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
196	193, 195	nndivred 10605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
197	174, 196	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
198	192, 197	fsumrecl 13568	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
199	198	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
200	199	addid2d 9798	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
201	150, 191, 200	3eqtrd 2502	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
202	110	rpreccld 11291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR+ )
203	127	flcld 11938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ )
204	203	peano2zd 10993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
205	202, 204	rpexpcld 12336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
206	205	rpge0d 11285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
207	52	nnrecred 10602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR )
208	207	resqcld 12339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) e. RR )
209	138	peano2nnd 10573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN )
210	209	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
211	207, 210	reexpcld 12330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
212	208, 211	subge02d 10165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) ) )
213	206, 212	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
214	113	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. RR+ )
215	214	rpcnne0d 11290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) )
216	202	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. CC )
217		dmdcan 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( 1 / p ) e. CC ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
218	215, 165, 216, 217	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
219	134	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. CC )
220		divsubdir 10261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. CC /\ 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
221	151, 219, 165, 220	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
222		divid 10255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( p / p ) = 1 )
223	165, 222	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p / p ) = 1 )
224	223	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
225	221, 224	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
226		divdiv1 10276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
227	219, 165, 215, 226	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
228	225, 227	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
229	52	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p =/= 0 )
230	216, 151, 229	divrecd 10344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
231	216	sqvald 12310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
232	230, 231	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
233	218, 228, 232	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
234	213, 233	breqtrrd 4482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
235	208, 211	resubcld 10008	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
236	114	nnrecred 10602	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
237		resubcl 9902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / p ) e. RR ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
238	133, 207, 237	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
239		recgt1 10461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. RR /\ 0 < p ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
240	53, 120, 239	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
241	125, 240	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) < 1 )
242		posdif 10066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
243	207, 133, 242	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
244	241, 243	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) )
245		ledivmul 10439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
246	235, 236, 238, 244, 245	syl112anc 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
247	234, 246	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
248	238, 244	elrpd 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR+ )
249	235, 248	rerpdivcld 11308	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) e. RR )
250	249, 236, 126	lemul2d 11321	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
251	247, 250	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
252	128	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. CC )
253	195	nncnd 10572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. CC )
254	195	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) =/= 0 )
255	252, 253, 254	divrecd 10344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
256	151	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. CC )
257	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
258	257	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p =/= 0 )
259		nnz 10907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
260	259	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
261	256, 258, 260	exprecd 12321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( 1 / ( p ^ k ) ) )
262	261	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
263	255, 262	eqtr4d 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
264	174, 263	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
265	264	sumeq2dv 13537	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
266	174	nnnn0d 10873	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN0 )
267		expcl 12187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / p ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
268	216, 266, 267	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
269	192, 128, 268	fsummulc2 13611	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
270		fzval3 11888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
271	203, 270	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
272	271	sumeq1d 13535	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) )
273	207, 241	ltned 9738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) =/= 1 )
274		2nn0 10833	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
275	274	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 2 e. NN0 )
276		eluzp1p1 11131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
277	140, 276	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
278		df-2 10615	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
279	278	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
280	277, 279	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
281	216, 273, 275, 280	geoserg 13689	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
282	272, 281	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
283	282	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
284	265, 269, 283	3eqtr2d 2504	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
285	114	nncnd 10572	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. CC )
286	114	nnne0d 10601	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) =/= 0 )
287	128, 285, 286	divrecd 10344	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
288	251, 284, 287	3brtr4d 4486	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
289	201, 288	eqbrtrd 4476	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
290	86, 108, 115, 289	fsumle 13625	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
291		elfzuz 11709	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
292		eluz2nn 11144	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. NN )
293	291, 292	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. NN )
294	293	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. NN )
295	294	nnred 10571	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. RR )
296	291	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
297		eluz2b2 11179	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
298	297	simprbi 464	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
299	296, 298	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 1 < p )
300	295, 299	rplogcld 23140	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
301	296, 112	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
302	294, 301	nnmulcld 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
303	302	nnrpd 11280	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. RR+ )
304	300, 303	rpdivcld 11298	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR+ )
305	304	rpred 11281	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
306	47, 305	fsumrecl 13568	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
307	304	rpge0d 11285	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
308	47, 305, 307, 84	fsumless 13622	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
309		rplogsumlem1 23795	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
310	77, 309	syl 16	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
311	116, 306, 118, 308, 310	letrd 9756	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
312	109, 116, 118, 290, 311	letrd 9756	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ 2 )
313	46, 312	eqbrtrd 4476	1 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   QQcq 11207   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   |_cfl 11930   ^cexp 12169   abscabs 13079   sum_csu 13520   Primecprime 14229   logclog 23068  Λcvma 23491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-tan 13819  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-vma 23497

This theorem is referenced by:  rplogsum  23838