Theorem rplogsumlem2 24051

Description: Lemma for rplogsum 24093. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem2	|- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 11982	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( |_ ` A ) = A )
2	1	oveq2d 6294	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( 1 ... A ) )
3	2	sumeq1d 13672	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) )
4		fveq2 5849	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> (Λ ` n ) = (Λ ` ( p ^ k ) ) )
5		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( n e. Prime <-> ( p ^ k ) e. Prime ) )
6		fveq2 5849	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( log ` n ) = ( log ` ( p ^ k ) ) )
7	5, 6	ifbieq1d 3908	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) )
8	4, 7	oveq12d 6296	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) )
9		id 22	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> n = ( p ^ k ) )
10	8, 9	oveq12d 6296	. . . 4 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
11		zre 10909	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
12		elfznn 11768	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
13	12	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
14		vmacl 23773	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
16	13	nnrpd 11302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR+ )
17	16	relogcld 23302	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
18		0re 9626	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
19		ifcl 3927	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
20	17, 18, 19	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
21	15, 20	resubcld 10028	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) e. RR )
22	21, 13	nndivred 10625	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. RR )
23	22	recnd 9652	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. CC )
24		simprr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> (Λ ` n ) = 0 )
25		vmaprm 23772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) = ( log ` n ) )
26		prmnn 14429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
27	26	nnred 10591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. RR )
28		prmgt1 14445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> 1 < n )
29	27, 28	rplogcld 23308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> ( log ` n ) e. RR+ )
30	25, 29	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) e. RR+ )
31	30	rpne0d 11309	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) =/= 0 )
32	31	necon2bi 2640	. . . . . . . . . 10 |- ( (Λ ` n ) = 0 -> -. n e. Prime )
33	32	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> -. n e. Prime )
34	33	iffalsed 3896	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = 0 )
35	24, 34	oveq12d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( 0 - 0 ) )
36		0m0e0 10686	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
37	35, 36	syl6eq 2459	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = 0 )
38	37	oveq1d 6293	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( 0 / n ) )
39	12	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. NN )
40	39	nnrpd 11302	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. RR+ )
41	40	rpcnne0d 11313	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
42		div0 10276	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ n =/= 0 ) -> ( 0 / n ) = 0 )
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( 0 / n ) = 0 )
44	38, 43	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = 0 )
45	10, 11, 23, 44	fsumvma2 23870	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
46	3, 45	eqtr3d 2445	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
47		fzfid 12124	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
48		inss2 3660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ Prime
49		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
50	48, 49	sseldi 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. Prime )
51		prmnn 14429	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. NN )
53	52	nnred 10591	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR )
54	11	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR )
55		zcn 10910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
56	55	abscld 13416	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. RR )
57		peano2re 9787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` A ) e. RR -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
59	58	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
60		inss1 3659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 0 [,] A )
61	60	sseli 3438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 0 [,] A ) )
62		elicc2 11643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
63	18, 11, 62	sylancr 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
64	61, 63	syl5ib 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
65	64	imp 427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) )
66	65	simp3d 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ A )
67	55	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. CC )
68	67	abscld 13416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
69	54	leabsd 13395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( abs ` A ) )
70	68	lep1d 10517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
71	54, 68, 59, 69, 70	letrd 9773	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
72	53, 54, 59, 66, 71	letrd 9773	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
73		prmuz2 14444	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
74	50, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
75		nn0abscl 13294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )
76		nn0p1nn 10876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) e. NN0 -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
78	77	nnzd 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
79	78	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
80		elfz5 11734	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
81	74, 79, 80	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
82	72, 81	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
83	82	ex 432	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) )
84	83	ssrdv 3448	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
85		ssfi 7775	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
86	47, 84, 85	syl2anc 659	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
87		fzfid 12124	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
88		simprl 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
89	48, 88	sseldi 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. Prime )
90		elfznn 11768	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
91	90	ad2antll 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
92		vmappw 23771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ k e. NN ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
94	52	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. NN )
95	94	nnrpd 11302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. RR+ )
96	95	relogcld 23302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
97	93, 96	eqeltrd 2490	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR )
98	91	nnnn0d 10893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN0 )
99		nnexpcl 12223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
100	94, 98, 99	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
101	100	nnrpd 11302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. RR+ )
102	101	relogcld 23302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR )
103		ifcl 3927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
104	102, 18, 103	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
105	97, 104	resubcld 10028	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) e. RR )
106	105, 100	nndivred 10625	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
107	106	anassrs 646	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
108	87, 107	fsumrecl 13705	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
109	86, 108	fsumrecl 13705	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
110	52	nnrpd 11302	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR+ )
111	110	relogcld 23302	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
112		uz2m1nn 11201	. . . . . . 7 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( p - 1 ) e. NN )
113	74, 112	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
114	52, 113	nnmulcld 10624	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
115	111, 114	nndivred 10625	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
116	86, 115	fsumrecl 13705	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
117		2re 10646	. . . 4 |- 2 e. RR
118	117	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ZZ -> 2 e. RR )
119	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 e. RR )
120	52	nngt0d 10620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < p )
121	119, 53, 54, 120, 66	ltletrd 9776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < A )
122	54, 121	elrpd 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR+ )
123	122	relogcld 23302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
124		prmgt1 14445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> 1 < p )
125	50, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 < p )
126	53, 125	rplogcld 23308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
127	123, 126	rerpdivcld 11331	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR )
128	126	rpcnd 11306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. CC )
129	128	mulid2d 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) = ( log ` p ) )
130	110, 122	logled 23306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p <_ A <-> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) ) )
131	66, 130	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) )
132	129, 131	eqbrtrd 4415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) )
133		1re 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. RR )
135	134, 123, 126	lemuldivd 11349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) <-> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
136	132, 135	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) )
137		flge1nn 11993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR /\ 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
138	127, 136, 137	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
139		nnuz 11162	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
140	138, 139	syl6eleq 2500	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
141	106	recnd 9652	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
142	141	anassrs 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
143		oveq2 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( p ^ k ) = ( p ^ 1 ) )
144	143	fveq2d 5853	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = (Λ ` ( p ^ 1 ) ) )
145	143	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( p ^ k ) e. Prime <-> ( p ^ 1 ) e. Prime ) )
146	143	fveq2d 5853	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( log ` ( p ^ k ) ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
147	145, 146	ifbieq1d 3908	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) )
148	144, 147	oveq12d 6296	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) )
149	148, 143	oveq12d 6296	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) )
150	140, 142, 149	fsum1p 13719	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
151	52	nncnd 10592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. CC )
152	151	exp1d 12349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
153	152	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = (Λ ` p ) )
154		vmaprm 23772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
155	50, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
156	153, 155	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
157	152, 50	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) e. Prime )
158	157	iftrued 3893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
159	152	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
160	158, 159	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` p ) )
161	156, 160	oveq12d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) )
162	128	subidd 9955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) = 0 )
163	161, 162	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = 0 )
164	163, 152	oveq12d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = ( 0 / p ) )
165	110	rpcnne0d 11313	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. CC /\ p =/= 0 ) )
166		div0 10276	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( 0 / p ) = 0 )
167	165, 166	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 / p ) = 0 )
168	164, 167	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = 0 )
169		1p1e2 10690	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
170	169	oveq1i 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
171	170	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) )
172		elfzuz 11738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
173		eluz2nn 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
175	174, 170	eleq2s 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
176	50, 175, 92	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
177	52	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. NN )
178		nnq 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. QQ )
180	172, 170	eleq2s 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
181	180	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
182		expnprm 14630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. QQ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
183	179, 181, 182	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
184	183	iffalsed 3896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = 0 )
185	176, 184	oveq12d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - 0 ) )
186	128	subid1d 9956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
187	186	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
188	185, 187	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( log ` p ) )
189	188	oveq1d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
190	171, 189	sumeq12dv 13677	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
191	168, 190	oveq12d 6296	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) )
192		fzfid 12124	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
193	111	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. RR )
194		nnnn0 10843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
195	52, 194, 99	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
196	193, 195	nndivred 10625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
197	174, 196	sylan2 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
198	192, 197	fsumrecl 13705	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
199	198	recnd 9652	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
200	199	addid2d 9815	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
201	150, 191, 200	3eqtrd 2447	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
202	110	rpreccld 11314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR+ )
203	127	flcld 11972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ )
204	203	peano2zd 11011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
205	202, 204	rpexpcld 12377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
206	205	rpge0d 11308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
207	52	nnrecred 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR )
208	207	resqcld 12380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) e. RR )
209	138	peano2nnd 10593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN )
210	209	nnnn0d 10893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
211	207, 210	reexpcld 12371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
212	208, 211	subge02d 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) ) )
213	206, 212	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
214	113	nnrpd 11302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. RR+ )
215	214	rpcnne0d 11313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) )
216	202	rpcnd 11306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. CC )
217		dmdcan 10295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( 1 / p ) e. CC ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
218	215, 165, 216, 217	syl3anc 1230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
219	134	recnd 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. CC )
220		divsubdir 10281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. CC /\ 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
221	151, 219, 165, 220	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
222		divid 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( p / p ) = 1 )
223	165, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p / p ) = 1 )
224	223	oveq1d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
225	221, 224	eqtrd 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
226		divdiv1 10296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
227	219, 165, 215, 226	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
228	225, 227	oveq12d 6296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
229	52	nnne0d 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p =/= 0 )
230	216, 151, 229	divrecd 10364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
231	216	sqvald 12351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
232	230, 231	eqtr4d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
233	218, 228, 232	3eqtr3d 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
234	213, 233	breqtrrd 4421	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
235	208, 211	resubcld 10028	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
236	114	nnrecred 10622	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
237		resubcl 9919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / p ) e. RR ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
238	133, 207, 237	sylancr 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
239		recgt1 10481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. RR /\ 0 < p ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
240	53, 120, 239	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
241	125, 240	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) < 1 )
242		posdif 10086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
243	207, 133, 242	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
244	241, 243	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) )
245		ledivmul 10459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
246	235, 236, 238, 244, 245	syl112anc 1234	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
247	234, 246	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
248	238, 244	elrpd 11301	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR+ )
249	235, 248	rerpdivcld 11331	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) e. RR )
250	249, 236, 126	lemul2d 11344	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
251	247, 250	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
252	128	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. CC )
253	195	nncnd 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. CC )
254	195	nnne0d 10621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) =/= 0 )
255	252, 253, 254	divrecd 10364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
256	151	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. CC )
257	52	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
258	257	nnne0d 10621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p =/= 0 )
259		nnz 10927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
260	259	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
261	256, 258, 260	exprecd 12362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( 1 / ( p ^ k ) ) )
262	261	oveq2d 6294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
263	255, 262	eqtr4d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
264	174, 263	sylan2 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
265	264	sumeq2dv 13674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
266	174	nnnn0d 10893	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN0 )
267		expcl 12228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / p ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
268	216, 266, 267	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
269	192, 128, 268	fsummulc2 13750	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
270		fzval3 11921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
271	203, 270	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
272	271	sumeq1d 13672	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) )
273	207, 241	ltned 9753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) =/= 1 )
274		2nn0 10853	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
275	274	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 2 e. NN0 )
276		eluzp1p1 11152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
277	140, 276	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
278		df-2 10635	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
279	278	fveq2i 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
280	277, 279	syl6eleqr 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
281	216, 273, 275, 280	geoserg 13829	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
282	272, 281	eqtrd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
283	282	oveq2d 6294	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
284	265, 269, 283	3eqtr2d 2449	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
285	114	nncnd 10592	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. CC )
286	114	nnne0d 10621	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) =/= 0 )
287	128, 285, 286	divrecd 10364	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
288	251, 284, 287	3brtr4d 4425	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
289	201, 288	eqbrtrd 4415	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
290	86, 108, 115, 289	fsumle 13764	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
291		elfzuz 11738	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
292		eluz2nn 11165	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. NN )
293	291, 292	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. NN )
294	293	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. NN )
295	294	nnred 10591	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. RR )
296	291	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
297		eluz2b2 11199	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
298	297	simprbi 462	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
299	296, 298	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 1 < p )
300	295, 299	rplogcld 23308	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
301	296, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
302	294, 301	nnmulcld 10624	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
303	302	nnrpd 11302	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. RR+ )
304	300, 303	rpdivcld 11321	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR+ )
305	304	rpred 11304	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
306	47, 305	fsumrecl 13705	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
307	304	rpge0d 11308	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
308	47, 305, 307, 84	fsumless 13761	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
309		rplogsumlem1 24050	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
310	77, 309	syl 17	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
311	116, 306, 118, 308, 310	letrd 9773	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
312	109, 116, 118, 290, 311	letrd 9773	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ 2 )
313	46, 312	eqbrtrd 4415	1 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   i^i cin 3413   C_ wss 3414   ifcif 3885   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   QQcq 11227   RR+crp 11265   [,]cicc 11585   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854   |_cfl 11964   ^cexp 12210   abscabs 13216   sum_csu 13657   Primecprime 14426   logclog 23234  Λcvma 23746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-tan 14016  df-pi 14017  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-cxp 23237  df-vma 23752

This theorem is referenced by:  rplogsum  24093