Theorem rplogsumlem2 23398

Description: Lemma for rplogsum 23440. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem2	|- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2

Dummy variables k p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 11909	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( |_ ` A ) = A )
2	1	oveq2d 6298	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` A ) ) = ( 1 ... A ) )
3	2	sumeq1d 13482	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) )
4		fveq2 5864	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> (Λ ` n ) = (Λ ` ( p ^ k ) ) )
5		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( n e. Prime <-> ( p ^ k ) e. Prime ) )
6		fveq2 5864	. . . . . . 7 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( log ` n ) = ( log ` ( p ^ k ) ) )
7	5, 6	ifbieq1d 3962	. . . . . 6 |- ( n = ( p ^ k ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) )
8	4, 7	oveq12d 6300	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) )
9		id 22	. . . . 5 |- ( n = ( p ^ k ) -> n = ( p ^ k ) )
10	8, 9	oveq12d 6300	. . . 4 |- ( n = ( p ^ k ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
11		zre 10864	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
12		elfznn 11710	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) -> n e. NN )
13	12	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. NN )
14		vmacl 23120	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
16	13	nnrpd 11251	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> n e. RR+ )
17	16	relogcld 22736	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
18		0re 9592	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
19		ifcl 3981	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` n ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) e. RR )
21	15, 20	resubcld 9983	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) e. RR )
22	21, 13	nndivred 10580	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. RR )
23	22	recnd 9618	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) e. CC )
24		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> (Λ ` n ) = 0 )
25		vmaprm 23119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) = ( log ` n ) )
26		prmnn 14075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Prime -> n e. NN )
27	26	nnred 10547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> n e. RR )
28		prmuz2 14090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Prime -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
29		eluz2b2 11150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( n e. NN /\ 1 < n ) )
30	29	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < n )
31	28, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Prime -> 1 < n )
32	27, 31	rplogcld 22742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Prime -> ( log ` n ) e. RR+ )
33	25, 32	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) e. RR+ )
34	33	rpne0d 11257	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Prime -> (Λ ` n ) =/= 0 )
35	34	necon2bi 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( (Λ ` n ) = 0 -> -. n e. Prime )
36	35	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> -. n e. Prime )
37		iffalse 3948	. . . . . . . . 9 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = 0 )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) = 0 )
39	24, 38	oveq12d 6300	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = ( 0 - 0 ) )
40		0m0e0 10641	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
41	39, 40	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) = 0 )
42	41	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = ( 0 / n ) )
43	12	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. NN )
44	43	nnrpd 11251	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> n e. RR+ )
45	44	rpcnne0d 11261	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
46		div0 10231	. . . . . 6 |- ( ( n e. CC /\ n =/= 0 ) -> ( 0 / n ) = 0 )
47	45, 46	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( 0 / n ) = 0 )
48	42, 47	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) /\ (Λ ` n ) = 0 ) ) -> ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = 0 )
49	10, 11, 23, 48	fsumvma2 23217	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` A ) ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
50	3, 49	eqtr3d 2510	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) = sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) )
51		fzfid 12047	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin )
52		inss2 3719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ Prime
53		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
54	52, 53	sseldi 3502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. Prime )
55		prmnn 14075	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. NN )
57	56	nnred 10547	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR )
58	11	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR )
59		zcn 10865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
60	59	abscld 13226	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. RR )
61		peano2re 9748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` A ) e. RR -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. RR )
64		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 0 [,] A )
65	64	sseli 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 0 [,] A ) )
66		elicc2 11585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
67	18, 11, 66	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( 0 [,] A ) <-> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
68	65, 67	syl5ib 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) ) )
69	68	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. RR /\ 0 <_ p /\ p <_ A ) )
70	69	simp3d 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ A )
71	59	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. CC )
72	71	abscld 13226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
73	58	leabsd 13205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( abs ` A ) )
74	72	lep1d 10473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
75	58, 72, 63, 73, 74	letrd 9734	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
76	57, 58, 63, 70, 75	letrd 9734	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) )
77		prmuz2 14090	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
78	54, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
79		nn0abscl 13104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( abs ` A ) e. NN0 )
80		nn0p1nn 10831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) e. NN0 -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
81	79, 80	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN )
82	81	nnzd 10961	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
83	82	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ )
84		elfz5 11676	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( abs ` A ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
85	78, 83, 84	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) <-> p <_ ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
86	76, 85	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
87	86	ex 434	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) -> p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) )
88	87	ssrdv 3510	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) )
89		ssfi 7737	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) C_ ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
90	51, 88, 89	syl2anc 661	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) e. Fin )
91		fzfid 12047	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
92		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) )
93	52, 92	sseldi 3502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. Prime )
94		elfznn 11710	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
95	94	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN )
96		vmappw 23118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ k e. NN ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
97	93, 95, 96	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
98	56	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. NN )
99	98	nnrpd 11251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> p e. RR+ )
100	99	relogcld 22736	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
101	97, 100	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) e. RR )
102	95	nnnn0d 10848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> k e. NN0 )
103		nnexpcl 12143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( p ^ k ) e. NN )
104	98, 102, 103	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. NN )
105	104	nnrpd 11251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( p ^ k ) e. RR+ )
106	105	relogcld 22736	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR )
107		ifcl 3981	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` ( p ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
108	106, 18, 107	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) e. RR )
109	101, 108	resubcld 9983	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) e. RR )
110	109, 104	nndivred 10580	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
111	110	anassrs 648	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
112	91, 111	fsumrecl 13515	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
113	90, 112	fsumrecl 13515	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
114	56	nnrpd 11251	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. RR+ )
115	114	relogcld 22736	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
116		uz2m1nn 11152	. . . . . . 7 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( p - 1 ) e. NN )
117	78, 116	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
118	56, 117	nnmulcld 10579	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
119	115, 118	nndivred 10580	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
120	90, 119	fsumrecl 13515	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
121		2re 10601	. . . 4 |- 2 e. RR
122	121	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ZZ -> 2 e. RR )
123	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 e. RR )
124	56	nngt0d 10575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < p )
125	123, 57, 58, 124, 70	ltletrd 9737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < A )
126	58, 125	elrpd 11250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> A e. RR+ )
127	126	relogcld 22736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
128		eluz2b2 11150	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( p e. NN /\ 1 < p ) )
129	128	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
130	77, 129	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> 1 < p )
131	54, 130	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 < p )
132	57, 131	rplogcld 22742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
133	127, 132	rerpdivcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR )
134	132	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. CC )
135	134	mulid2d 9610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) = ( log ` p ) )
136	114, 126	logled 22740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p <_ A <-> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) ) )
137	70, 136	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) <_ ( log ` A ) )
138	135, 137	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) )
139		1re 9591	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. RR )
141	140, 127, 132	lemuldivd 11297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 x. ( log ` p ) ) <_ ( log ` A ) <-> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
142	138, 141	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) )
143		flge1nn 11919	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) e. RR /\ 1 <_ ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
144	133, 142, 143	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. NN )
145		nnuz 11113	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
146	144, 145	syl6eleq 2565	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
147	110	recnd 9618	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
148	147	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
149		oveq2 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( p ^ k ) = ( p ^ 1 ) )
150	149	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = (Λ ` ( p ^ 1 ) ) )
151	149	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( p ^ k ) e. Prime <-> ( p ^ 1 ) e. Prime ) )
152	149	fveq2d 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( log ` ( p ^ k ) ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
153	151, 152	ifbieq1d 3962	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) )
154	150, 153	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) )
155	154, 149	oveq12d 6300	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) )
156	146, 148, 155	fsum1p 13527	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) )
157	56	nncnd 10548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p e. CC )
158	157	exp1d 12269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) = p )
159	158	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = (Λ ` p ) )
160		vmaprm 23119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
161	54, 160	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` p ) = ( log ` p ) )
162	159, 161	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> (Λ ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
163	158, 54	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p ^ 1 ) e. Prime )
164		iftrue 3945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p ^ 1 ) e. Prime -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
165	163, 164	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` ( p ^ 1 ) ) )
166	158	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( log ` ( p ^ 1 ) ) = ( log ` p ) )
167	165, 166	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) = ( log ` p ) )
168	162, 167	oveq12d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) )
169	134	subidd 9914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - ( log ` p ) ) = 0 )
170	168, 169	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) = 0 )
171	170, 158	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = ( 0 / p ) )
172	114	rpcnne0d 11261	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p e. CC /\ p =/= 0 ) )
173		div0 10231	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( 0 / p ) = 0 )
174	172, 173	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 / p ) = 0 )
175	171, 174	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) = 0 )
176		1p1e2 10645	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
177	176	oveq1i 6292	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) )
178	177	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) )
179		elfzuz 11680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
180		eluz2b2 11150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( k e. NN /\ 1 < k ) )
181	180	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN )
182	179, 181	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
183	182, 177	eleq2s 2575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN )
184	54, 183, 96	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> (Λ ` ( p ^ k ) ) = ( log ` p ) )
185	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. NN )
186		nnq 11191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
187	185, 186	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> p e. QQ )
188	179, 177	eleq2s 2575	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
189	188	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
190		expnprm 14276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. QQ /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
191	187, 189, 190	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> -. ( p ^ k ) e. Prime )
192		iffalse 3948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( p ^ k ) e. Prime -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = 0 )
193	191, 192	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) = 0 )
194	184, 193	oveq12d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( ( log ` p ) - 0 ) )
195	134	subid1d 9915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
196	195	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) - 0 ) = ( log ` p ) )
197	194, 196	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) = ( log ` p ) )
198	197	oveq1d 6297	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
199	178, 198	sumeq12dv 13487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
200	175, 199	oveq12d 6300	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( (Λ ` ( p ^ 1 ) ) - if ( ( p ^ 1 ) e. Prime , ( log ` ( p ^ 1 ) ) , 0 ) ) / ( p ^ 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 1 + 1 ) ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) ) = ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) )
201		fzfid 12047	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) e. Fin )
202	115	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. RR )
203		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
204	56, 203, 103	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. NN )
205	202, 204	nndivred 10580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
206	182, 205	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
207	201, 206	fsumrecl 13515	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. RR )
208	207	recnd 9618	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) e. CC )
209	208	addid2d 9776	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 + sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
210	156, 200, 209	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) )
211	114	rpreccld 11262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR+ )
212	133	flcld 11899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ )
213	212	peano2zd 10965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ZZ )
214	211, 213	rpexpcld 12297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
215	214	rpge0d 11256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
216	56	nnrecred 10577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. RR )
217	216	resqcld 12300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) e. RR )
218	144	peano2nnd 10549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN )
219	218	nnnn0d 10848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. NN0 )
220	216, 219	reexpcld 12291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) e. RR )
221	217, 220	subge02d 10140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 0 <_ ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) ) )
222	215, 221	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
223	117	nnrpd 11251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p - 1 ) e. RR+ )
224	223	rpcnne0d 11261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) )
225	211	rpcnd 11254	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) e. CC )
226		dmdcan 10250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( 1 / p ) e. CC ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
227	224, 172, 225, 226	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 / p ) / p ) )
228	140	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 1 e. CC )
229		divsubdir 10236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. CC /\ 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
230	157, 228, 172, 229	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) )
231		divid 10230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. CC /\ p =/= 0 ) -> ( p / p ) = 1 )
232	172, 231	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p / p ) = 1 )
233	232	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p / p ) - ( 1 / p ) ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
234	230, 233	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( p - 1 ) / p ) = ( 1 - ( 1 / p ) ) )
235		divdiv1 10251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( p e. CC /\ p =/= 0 ) /\ ( ( p - 1 ) e. CC /\ ( p - 1 ) =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
236	228, 172, 224, 235	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) = ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
237	234, 236	oveq12d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( p - 1 ) / p ) x. ( ( 1 / p ) / ( p - 1 ) ) ) = ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
238	56	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> p =/= 0 )
239	225, 157, 238	divrecd 10319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
240	225	sqvald 12271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ 2 ) = ( ( 1 / p ) x. ( 1 / p ) ) )
241	239, 240	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) / p ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
242	227, 237, 241	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) = ( ( 1 / p ) ^ 2 ) )
243	222, 242	breqtrrd 4473	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
244	217, 220	resubcld 9983	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
245	118	nnrecred 10577	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
246		resubcl 9879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / p ) e. RR ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
247	139, 216, 246	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR )
248		recgt1 10437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. RR /\ 0 < p ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
249	57, 124, 248	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 < p <-> ( 1 / p ) < 1 ) )
250	131, 249	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) < 1 )
251		posdif 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 / p ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
252	216, 139, 251	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( 1 / p ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
253	250, 252	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) )
254		ledivmul 10414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
255	244, 245, 247, 253, 254	syl112anc 1232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 - ( 1 / p ) ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
256	243, 255	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
257	247, 253	elrpd 11250	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 - ( 1 / p ) ) e. RR+ )
258	244, 257	rerpdivcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) e. RR )
259	258, 245, 132	lemul2d 11292	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) <_ ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <-> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) ) )
260	256, 259	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) <_ ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
261	134	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( log ` p ) e. CC )
262	204	nncnd 10548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) e. CC )
263	204	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( p ^ k ) =/= 0 )
264	261, 262, 263	divrecd 10319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
265	157	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. CC )
266	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p e. NN )
267	266	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> p =/= 0 )
268		nnz 10882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
269	268	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
270	265, 267, 269	exprecd 12282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( 1 / ( p ^ k ) ) )
271	270	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p ^ k ) ) ) )
272	264, 271	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
273	182, 272	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
274	273	sumeq2dv 13484	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
275	182	nnnn0d 10848	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) -> k e. NN0 )
276		expcl 12148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / p ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
277	225, 275, 276	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) /\ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ) -> ( ( 1 / p ) ^ k ) e. CC )
278	201, 134, 277	fsummulc2 13558	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) x. ( ( 1 / p ) ^ k ) ) )
279		fzval3 11849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ZZ -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
280	212, 279	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) = ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) )
281	280	sumeq1d 13482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) )
282	216, 250	ltned 9716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( 1 / p ) =/= 1 )
283		2nn0 10808	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
284	283	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> 2 e. NN0 )
285		eluzp1p1 11103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
286	146, 285	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
287		df-2 10590	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
288	287	fveq2i 5867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
289	286, 288	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
290	225, 282, 284, 289	geoserg 13636	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2..^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
291	281, 290	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) )
292	291	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) x. sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( 1 / p ) ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
293	274, 278, 292	3eqtr2d 2514	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) = ( ( log ` p ) x. ( ( ( ( 1 / p ) ^ 2 ) - ( ( 1 / p ) ^ ( ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / p ) ) ) ) )
294	118	nncnd 10548	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. CC )
295	118	nnne0d 10576	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) =/= 0 )
296	134, 294, 295	divrecd 10319	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) = ( ( log ` p ) x. ( 1 / ( p x. ( p - 1 ) ) ) ) )
297	260, 293, 296	3brtr4d 4477	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 2 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( log ` p ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
298	210, 297	eqbrtrd 4467	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
299	90, 112, 119, 298	fsumle 13572	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
300		elfzuz 11680	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
301	128	simplbi 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. NN )
302	300, 301	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) -> p e. NN )
303	302	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. NN )
304	303	nnred 10547	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. RR )
305	300	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
306	305, 129	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 1 < p )
307	304, 306	rplogcld 22742	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( log ` p ) e. RR+ )
308	305, 116	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p - 1 ) e. NN )
309	303, 308	nnmulcld 10579	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. NN )
310	309	nnrpd 11251	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( p x. ( p - 1 ) ) e. RR+ )
311	307, 310	rpdivcld 11269	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR+ )
312	311	rpred 11252	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
313	51, 312	fsumrecl 13515	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) e. RR )
314	311	rpge0d 11256	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
315	51, 312, 314, 88	fsumless 13569	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) )
316		rplogsumlem1 23397	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) + 1 ) e. NN -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
317	81, 316	syl 16	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( 2 ... ( ( abs ` A ) + 1 ) ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
318	120, 313, 122, 315, 317	letrd 9734	. . 3 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) ( ( log ` p ) / ( p x. ( p - 1 ) ) ) <_ 2 )
319	113, 120, 122, 299, 318	letrd 9734	. 2 |- ( A e. ZZ -> sum_ p e. ( ( 0 [,] A ) i^i Prime ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( ( log ` A ) / ( log ` p ) ) ) ) ( ( (Λ ` ( p ^ k ) ) - if ( ( p ^ k ) e. Prime , ( log ` ( p ^ k ) ) , 0 ) ) / ( p ^ k ) ) <_ 2 )
320	50, 319	eqbrtrd 4467	1 |- ( A e. ZZ -> sum_ n e. ( 1 ... A ) ( ( (Λ ` n ) - if ( n e. Prime , ( log ` n ) , 0 ) ) / n ) <_ 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   QQcq 11178   RR+crp 11216   [,]cicc 11528   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   |_cfl 11891   ^cexp 12130   abscabs 13026   sum_csu 13467   Primecprime 14072   logclog 22670  Λcvma 23093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-tan 13665  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-cxp 22673  df-vma 23099

This theorem is referenced by:  rplogsum  23440