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Theorem rplogsumlem2 21132
Description: Lemma for rplogsum 21174. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem rplogsumlem2
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flid 11171 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  =  A )
21oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... A
) )
32sumeq1d 12450 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... A ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n ) )
4 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  n )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
5 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( p ^ k )  e. 
Prime ) )
6 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  (
p ^ k ) ) )
7 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  0  =  0 )
85, 6, 7ifbieq12d 3721 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )
94, 8oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) ) )
10 id 20 . . . . 5  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  n  =  ( p ^
k ) )
119, 10oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( n  =  ( p ^
k )  ->  (
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )
12 zre 10242 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
13 elfznn 11036 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
1413adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
15 vmacl 20854 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
1714nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
1817relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
19 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
20 ifcl 3735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2118, 19, 20sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 )  e.  RR )
2216, 21resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  e.  RR )
2322, 14nndivred 10004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  RR )
2423recnd 9070 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  e.  CC )
25 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
(Λ `  n )  =  0 )
26 vmaprm 20853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =  ( log `  n ) )
27 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
2827nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  RR )
29 prmuz2 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) )
3130simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  n )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Prime  ->  1  < 
n )
3328, 32rplogcld 20477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
3426, 33eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  e.  RR+ )
3534rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  (Λ `  n
)  =/=  0 )
3635necon2bi 2613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Λ `  n )  =  0  ->  -.  n  e.  Prime )
3736ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  -.  n  e.  Prime )
38 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 )  =  0 )
4025, 39oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
41 0cn 9040 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
4241subidi 9327 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4340, 42syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( (Λ `  n )  -  if ( n  e. 
Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  =  0 )
4443oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  ( 0  /  n
) )
4513ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  NN )
4645nnrpd 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  ->  n  e.  RR+ )
4746rpcnne0d 10613 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
48 div0 9662 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
4947, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( 0  /  n
)  =  0 )
5044, 49eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) )  /\  (Λ `  n )  =  0 ) )  -> 
( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  =  0 )
5111, 12, 24, 50fsumvma2 20951 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n ) ,  0 ) )  /  n )  = 
sum_ p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
523, 51eqtr3d 2438 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  =  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A
)  i^i  Prime ) sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) ) )
53 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  e.  Fin )
54 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  Prime
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
5654, 55sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  Prime )
57 prmnn 13037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  NN )
5958nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
6012adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR )
61 zcn 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
6261abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
63 peano2re 9195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  RR  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
6564adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  RR )
66 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  C_  (
0 [,] A )
6766sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i 
Prime )  ->  p  e.  ( 0 [,] A
) )
68 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( p  e.  ( 0 [,] A )  <-> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
6919, 12, 68sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 0 [,] A )  <->  ( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A
) ) )
7067, 69syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  (
p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) ) )
7170imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  RR  /\  0  <_  p  /\  p  <_  A ) )
7271simp3d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  A )
7361adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  CC )
7473abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
7560leabsd 12172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( abs `  A
) )
7674lep1d 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( abs `  A
)  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7760, 74, 65, 75, 76letrd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
7859, 60, 65, 72, 77letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) )
79 prmuz2 13052 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
8056, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
81 nn0abscl 12072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )
82 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  +  1 )  e.  NN )
8381, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN )
8483nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
8584adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
86 elfz5 11007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( abs `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8780, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) )  <-> 
p  <_  ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8878, 87mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )
8988ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )  ->  p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ) )
9089ssrdv 3314 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  C_  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) )
91 ssfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) 
C_  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) ) )  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
9253, 90, 91syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
93 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
94 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )
9554, 94sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
96 elfznn 11036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
9796ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
98 vmappw 20852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
9995, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  p
) )
10058adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
101100nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  p  e.  RR+ )
102101relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
10399, 102eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
k ) )  e.  RR )
10497nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
105 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
106100, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  NN )
107106nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( p ^ k
)  e.  RR+ )
108107relogcld 20471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR )
109 ifcl 3735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
p ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( ( p ^ k )  e. 
Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 )  e.  RR )
110108, 19, 109sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  e.  RR )
111103, 110resubcld 9421 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  e.  RR )
112111, 106nndivred 10004 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  RR )
113112anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11493, 113fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
11592, 114fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
11658nnrpd 10603 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  RR+ )
117116relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR )
118 uz2m1nn 10506 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( p  -  1 )  e.  NN )
11980, 118syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
12058, 119nnmulcld 10003 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
121117, 120nndivred 10004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
12292, 121fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
123 2re 10025 . . . 4  |-  2  e.  RR
124123a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
12519a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  e.  RR )
12658nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  p )
127125, 59, 60, 126, 72ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  A )
12860, 127elrpd 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  A  e.  RR+ )
129128relogcld 20471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  A
)  e.  RR )
130 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  NN  /\  1  < 
p ) )
131130simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
13279, 131syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
13356, 132syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <  p )
13459, 133rplogcld 20477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
135129, 134rerpdivcld 10631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR )
136134rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  e.  CC )
137136mulid2d 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  =  ( log `  p
) )
138116, 128logled 20475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  <_  A  <->  ( log `  p )  <_  ( log `  A
) ) )
13972, 138mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  p
)  <_  ( log `  A ) )
140137, 139eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  x.  ( log `  p ) )  <_  ( log `  A
) )
141 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  RR )
143142, 129, 134lemuldivd 10649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  x.  ( log `  p
) )  <_  ( log `  A )  <->  1  <_  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
144140, 143mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  <_  ( ( log `  A )  / 
( log `  p
) ) )
145 flge1nn 11181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) )  e.  RR  /\  1  <_ 
( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
146135, 144, 145syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  NN )
147 nnuz 10477 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
148146, 147syl6eleq 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
149112recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( p  e.  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k
)  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
k ) )  e.  CC )
150149anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
151 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
p ^ k )  =  ( p ^
1 ) )
152151fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  (Λ `  ( p ^ 1 ) ) )
153151eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( p ^ k
)  e.  Prime  <->  ( p ^ 1 )  e. 
Prime ) )
154151fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  ( log `  ( p ^
k ) )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
155 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  0  =  0 )
156153, 154, 155ifbieq12d 3721 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )
157152, 156oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) ) )
158157, 151oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) ) )
159148, 150, 158fsum1p 12494 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) ) )
16058nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  e.  CC )
161160exp1d 11473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  =  p )
162161fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  (Λ `  p )
)
163 vmaprm 20853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  (Λ `  p
)  =  ( log `  p ) )
16456, 163syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  p )  =  ( log `  p
) )
165162, 164eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
(Λ `  ( p ^
1 ) )  =  ( log `  p
) )
166161, 56eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p ^ 1 )  e.  Prime )
167 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p ^ 1 )  e.  Prime  ->  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  (
p ^ 1 ) ) )
169161fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( log `  (
p ^ 1 ) )  =  ( log `  p ) )
170168, 169eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 )  =  ( log `  p
) )
171165, 170oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) ) )
172136subidd 9355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  ( log `  p ) )  =  0 )
173171, 172eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  =  0 )
174173, 161oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  ( 0  /  p
) )
175116rpcnne0d 10613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )
176 div0 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
177175, 176syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  /  p
)  =  0 )
178174, 177eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( (Λ `  (
p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^ 1 )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^
1 ) )  =  0 )
179 1p1e2 10050 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
180179oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )
181180a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) )
182 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
183 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
184183simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
185182, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
186185, 180eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
18756, 186, 98syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
18858adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  NN )
189 nnq 10543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  QQ )
190188, 189syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  p  e.  QQ )
191182, 180eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
192191adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
193 expnprm 13226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
194190, 192, 193syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  -.  ( p ^ k
)  e.  Prime )
195 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p ^ k
)  e.  Prime  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
196194, 195syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 )  =  0 )
197187, 196oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( ( log `  p )  -  0 ) )
198136subid1d 9356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
199198adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  -  0 )  =  ( log `  p
) )
200197, 199eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
(Λ `  ( p ^
k ) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  =  ( log `  p ) )
201200oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( (
1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
202181, 201sumeq12dv 12455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
203178, 202oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( (Λ `  ( p ^ 1 ) )  -  if ( ( p ^
1 )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ 1 ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ 1 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) ) )  =  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) ) )
204 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  e.  Fin )
205117adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  RR )
206 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
20758, 206, 105syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  NN )
208205, 207nndivred 10004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
209185, 208sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  e.  RR )
210204, 209fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  RR )
211210recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  e.  CC )
212211addid2d 9223 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  +  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) ) )
213159, 203, 2123eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  ( p ^
k ) ) )
214116rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR+ )
215135flcld 11162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  e.  ZZ )
216215peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ZZ )
217214, 216rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
218217rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <_  ( (
1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
21958nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  RR )
220219resqcld 11504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  e.  RR )
221146peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  NN )
222221nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
223219, 222reexpcld 11495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
224220, 223subge02d 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 0  <_  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  /  p ) ^ 2 ) ) )
225218, 224mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  p ) ^
2 ) )
226119nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  RR+ )
227226rpcnne0d 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )
228214rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  e.  CC )
229 dmdcan 9680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( p  - 
1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 )  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  (
1  /  p )  e.  CC )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
230227, 175, 228, 229syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  p )  /  p ) )
231142recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
1  e.  CC )
232 divsubdir 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
p  e.  CC  /\  p  =/=  0 ) )  ->  ( ( p  -  1 )  /  p )  =  ( ( p  /  p
)  -  ( 1  /  p ) ) )
233160, 231, 175, 232syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( ( p  /  p )  -  ( 1  /  p ) ) )
234 divid 9661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
235175, 234syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  /  p
)  =  1 )
236235oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  /  p )  -  (
1  /  p ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
237233, 236eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  p
)  =  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
238 divdiv1 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( p  e.  CC  /\  p  =/=  0 )  /\  ( ( p  -  1 )  e.  CC  /\  ( p  -  1 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
239231, 175, 227, 238syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  (
p  -  1 ) )  =  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
240237, 239oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( p  -  1 )  /  p )  x.  (
( 1  /  p
)  /  ( p  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) )
24158nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  p  =/=  0 )
242228, 160, 241divrecd 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
243228sqvald 11475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ 2 )  =  ( ( 1  /  p )  x.  ( 1  /  p ) ) )
244242, 243eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  /  p
)  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
245230, 240, 2443eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  -  ( 1  /  p
) )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  p ) ^ 2 ) )
246225, 245breqtrrd 4198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
247220, 223resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
248120nnrecred 10001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
249 resubcl 9321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  p
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( 1  /  p
) )  e.  RR )
250141, 219, 249sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR )
251 recgt1 9862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  RR  /\  0  <  p )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
25259, 126, 251syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  <  p  <->  ( 1  /  p )  <  1 ) )
253133, 252mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  <  1 )
254 posdif 9477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
255219, 141, 254sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( 1  /  p )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
256253, 255mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
0  <  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )
257 ledivmul 9839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  (
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )  ->  ( ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
258247, 248, 250, 256, 257syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( (
( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  -  ( 1  /  p ) )  x.  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) ) ) )
259246, 258mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
260250, 256elrpd 10602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  -  (
1  /  p ) )  e.  RR+ )
261247, 260rerpdivcld 10631 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  e.  RR )
262261, 248, 134lemul2d 10644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) )  <_  ( 1  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) )  <->  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ (
( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  ( ( log `  p )  x.  ( 1  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) ) )
263259, 262mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )  <_  (
( log `  p
)  x.  ( 1  /  ( p  x.  ( p  -  1 ) ) ) ) )
264136adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p
)  e.  CC )
265207nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  e.  CC )
266207nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( p ^ k
)  =/=  0 )
267264, 265, 266divrecd 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
268160adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  CC )
26958adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  e.  NN )
270269nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  p  =/=  0 )
271 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
272271adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
273268, 270, 272exprecd 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( p ^
k ) ) )
274273oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  x.  ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p ^ k ) ) ) )
275267, 274eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
276185, 275sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( log `  p
)  /  ( p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( 1  /  p
) ^ k ) ) )
277276sumeq2dv 12452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
278185nnnn0d 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( |_ `  (
( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
279 expcl 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  p
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  p ) ^ k
)  e.  CC )
280228, 278, 279syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) )  /\  k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) )  ->  (
( 1  /  p
) ^ k )  e.  CC )
281204, 136, 280fsummulc2 12522 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  x.  ( ( 1  /  p ) ^
k ) ) )
282 fzval3 11135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ZZ  ->  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
283215, 282syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) )  =  ( 2..^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )
284283sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
) )
285219, 253ltned 9165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( 1  /  p
)  =/=  1 )
286 2nn0 10194 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
287286a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
2  e.  NN0 )
288 eluzp1p1 10467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )  ->  ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
289148, 288syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
290 df-2 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
291290fveq2i 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
292289, 291syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
293228, 285, 287, 292geoserg 12600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2..^ ( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k
)  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^ ( ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  p ) ) ) )
294284, 293eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^
k )  =  ( ( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) )
295294oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  x.  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( 1  /  p ) ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
( ( ( 1  /  p ) ^
2 )  -  (
( 1  /  p
) ^ ( ( |_ `  ( ( log `  A )  /  ( log `  p
) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p
) ) ) ) )
296277, 281, 2953eqtr2d 2442 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  =  ( ( log `  p )  x.  ( ( ( ( 1  /  p
) ^ 2 )  -  ( ( 1  /  p ) ^
( ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) )  +  1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  p ) ) ) ) )
297120nncnd 9972 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  CC )
298120nnne0d 10000 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  =/=  0 )
299136, 297, 298divrecd 9749 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  =  ( ( log `  p )  x.  (
1  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) ) )
300263, 296, 2993brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( log `  p )  /  (
p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
301213, 300eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( (
0 [,] A )  i^i  Prime ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  A
)  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k
) )  -  if ( ( p ^
k )  e.  Prime ,  ( log `  (
p ^ k ) ) ,  0 ) )  /  ( p ^ k ) )  <_  ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) ) )
30292, 114, 121, 301fsumle 12533 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
303 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
304130simplbi 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  p  e.  NN )
305303, 304syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A
)  +  1 ) )  ->  p  e.  NN )
306305adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  NN )
307306nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  RR )
308303adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
309308, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
1  <  p )
310307, 309rplogcld 20477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( log `  p
)  e.  RR+ )
311308, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  -  1 )  e.  NN )
312306, 311nnmulcld 10003 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  NN )
313312nnrpd 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( p  x.  (
p  -  1 ) )  e.  RR+ )
314310, 313rpdivcld 10621 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
315314rpred 10604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  e.  RR )
31653, 315fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  e.  RR )
317314rpge0d 10608 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( log `  p )  / 
( p  x.  (
p  -  1 ) ) ) )
31853, 315, 317, 90fsumless 12530 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  sum_ p  e.  ( 2 ... ( ( abs `  A )  +  1 ) ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) ) )
319 rplogsumlem1 21131 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  +  1 )  e.  NN  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
32083, 319syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( 2 ... (
( abs `  A
)  +  1 ) ) ( ( log `  p )  /  (
p  x.  ( p  -  1 ) ) )  <_  2 )
321122, 316, 124, 318, 320letrd 9183 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime ) ( ( log `  p
)  /  ( p  x.  ( p  - 
1 ) ) )  <_  2 )
322115, 122, 124, 302, 321letrd 9183 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ p  e.  ( ( 0 [,] A )  i^i  Prime )
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  A )  /  ( log `  p ) ) ) ) ( ( (Λ `  ( p ^ k ) )  -  if ( ( p ^ k )  e.  Prime ,  ( log `  ( p ^ k
) ) ,  0 ) )  /  (
p ^ k ) )  <_  2 )
32352, 322eqbrtrd 4192 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... A
) ( ( (Λ `  n )  -  if ( n  e.  Prime ,  ( log `  n
) ,  0 ) )  /  n )  <_  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   QQcq 10530   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   |_cfl 11156   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   Primecprime 13034   logclog 20405  Λcvma 20827
This theorem is referenced by:  rplogsum  21174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-vma 20833
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