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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rplogsumlem1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lemma for rplogsum 24365. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) |
Ref | Expression |
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rplogsumlem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fzfid 12186 |
. . 3
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2 | elfzuz 11796 |
. . . . . . . 8
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3 | eluz2nn 11197 |
. . . . . . . 8
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4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | adantl 468 |
. . . . . 6
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6 | 5 | nnrpd 11339 |
. . . . 5
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7 | 6 | relogcld 23572 |
. . . 4
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8 | 2 | adantl 468 |
. . . . . 6
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9 | uz2m1nn 11233 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . 5
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11 | 5, 10 | nnmulcld 10657 |
. . . 4
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12 | 7, 11 | nndivred 10658 |
. . 3
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13 | 1, 12 | fsumrecl 13800 |
. 2
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14 | 2re 10679 |
. . . . 5
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15 | 10 | nnrpd 11339 |
. . . . . 6
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16 | 15 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . 5
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17 | rerpdivcl 11330 |
. . . . 5
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18 | 14, 16, 17 | sylancr 669 |
. . . 4
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19 | 6 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . 5
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20 | rerpdivcl 11330 |
. . . . 5
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21 | 14, 19, 20 | sylancr 669 |
. . . 4
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22 | 18, 21 | resubcld 10047 |
. . 3
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23 | 1, 22 | fsumrecl 13800 |
. 2
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24 | 14 | a1i 11 |
. 2
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25 | 16 | rpred 11341 |
. . . . 5
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26 | 5 | nnred 10624 |
. . . . . . 7
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27 | peano2rem 9941 |
. . . . . . . 8
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28 | 26, 27 | syl 17 |
. . . . . . 7
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29 | 26, 28 | remulcld 9671 |
. . . . . 6
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30 | 29, 22 | remulcld 9671 |
. . . . 5
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31 | 5 | nncnd 10625 |
. . . . . . . 8
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32 | ax-1cn 9597 |
. . . . . . . 8
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33 | npcan 9884 |
. . . . . . . 8
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34 | 31, 32, 33 | sylancl 668 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | fveq2d 5869 |
. . . . . 6
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36 | 15 | rpge0d 11345 |
. . . . . . 7
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37 | loglesqrt 23698 |
. . . . . . 7
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38 | 28, 36, 37 | syl2anc 667 |
. . . . . 6
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39 | 35, 38 | eqbrtrrd 4425 |
. . . . 5
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40 | 19 | rpred 11341 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40, 25 | readdcld 9670 |
. . . . . . . . . 10
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42 | remulcl 9624 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 40, 14, 42 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 40, 25 | resubcld 10047 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 26 | lem1d 10540 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 6 | rpge0d 11345 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 28, 36, 26, 46 | sqrtled 13488 |
. . . . . . . . . . . 12
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48 | 45, 47 | mpbid 214 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 40, 25 | subge0d 10203 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 48, 49 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 25, 40, 40, 48 | leadd2dd 10228 |
. . . . . . . . . . 11
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52 | 19 | rpcnd 11343 |
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53 | 52 | times2d 10856 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 51, 53 | breqtrrd 4429 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 41, 43, 44, 50, 54 | lemul1ad 10546 |
. . . . . . . . 9
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56 | 31 | sqsqrtd 13501 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | subcl 9874 |
. . . . . . . . . . . . 13
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58 | 31, 32, 57 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 58 | sqsqrtd 13501 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | 56, 59 | oveq12d 6308 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 16 | rpcnd 11343 |
. . . . . . . . . . 11
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62 | subsq 12382 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | 52, 61, 62 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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76 | 72, 75, 16 | lemul1d 11381 |
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. . . . . . 7
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. . . . . . 7
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79 | 74 | recnd 9669 |
. . . . . . . 8
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80 | 52, 79, 61 | mul32d 9843 |
. . . . . . 7
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81 | 77, 78, 80 | 3brtr3d 4432 |
. . . . . 6
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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92 | 68, 68, 89, 90, 91 | syl22anc 1269 |
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102 | 98, 98, 101 | mulassd 9666 |
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103 | 99 | rpne0d 11346 |
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104 | 79, 98, 103 | divcan2d 10385 |
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106 | 97, 102, 105 | 3eqtrd 2489 |
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107 | 81, 106 | breqtrrd 4429 |
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108 | 7, 25, 30, 39, 107 | letrd 9792 |
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109 | 11 | nngt0d 10653 |
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110 | ledivmul 10481 |
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111 | 7, 22, 29, 109, 110 | syl112anc 1272 |
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112 | 108, 111 | mpbird 236 |
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113 | 1, 12, 22, 112 | fsumle 13859 |
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114 | oveq1 6297 |
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119 | 118 | oveq2d 6306 |
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122 | 120, 121 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . 9
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123 | 122 | fveq2d 5869 |
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124 | sqrt1 13335 |
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128 | 126, 127 | syl6eq 2501 |
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129 | oveq1 6297 |
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131 | 130 | oveq2d 6306 |
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132 | nnz 10959 |
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133 | eluzp1p1 11184 |
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134 | nnuz 11194 |
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135 | 133, 134 | eleq2s 2547 |
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136 | df-2 10668 |
. . . . . . 7
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137 | 136 | fveq2i 5868 |
. . . . . 6
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138 | 135, 137 | syl6eleqr 2540 |
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139 | elfzuz 11796 |
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140 | uz2m1nn 11233 |
. . . . . . . . . . 11
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141 | 139, 140 | syl 17 |
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142 | 141 | adantl 468 |
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143 | 142 | nnrpd 11339 |
. . . . . . . 8
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144 | 143 | rpsqrtcld 13473 |
. . . . . . 7
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145 | rerpdivcl 11330 |
. . . . . . 7
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146 | 14, 144, 145 | sylancr 669 |
. . . . . 6
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147 | 146 | recnd 9669 |
. . . . 5
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148 | 116, 119, 128, 131, 132, 138, 147 | telfsum 13864 |
. . . 4
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149 | pncan 9881 |
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150 | 31, 32, 149 | sylancl 668 |
. . . . . . . 8
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151 | 150 | fveq2d 5869 |
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152 | 151 | oveq2d 6306 |
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153 | 152 | oveq2d 6306 |
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154 | 153 | sumeq2dv 13769 |
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155 | nncn 10617 |
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156 | pncan 9881 |
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157 | 155, 32, 156 | sylancl 668 |
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158 | 157 | fveq2d 5869 |
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159 | 158 | oveq2d 6306 |
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160 | 159 | oveq2d 6306 |
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161 | 148, 154, 160 | 3eqtr3d 2493 |
. . 3
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162 | 2rp 11307 |
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163 | nnrp 11311 |
. . . . . . 7
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164 | 163 | rpsqrtcld 13473 |
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165 | rpdivcl 11325 |
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166 | 162, 164, 165 | sylancr 669 |
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167 | 166 | rpge0d 11345 |
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168 | 166 | rpred 11341 |
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169 | subge02 10130 |
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170 | 14, 168, 169 | sylancr 669 |
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171 | 167, 170 | mpbid 214 |
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172 | 161, 171 | eqbrtrd 4423 |
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173 | 13, 23, 24, 113, 172 | letrd 9792 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 ax-addf 9618 ax-mulf 9619 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-fal 1450 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-pm 7475 df-ixp 7523 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-fsupp 7884 df-fi 7925 df-sup 7956 df-inf 7957 df-oi 8025 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-4 10670 df-5 10671 df-6 10672 df-7 10673 df-8 10674 df-9 10675 df-10 10676 df-n0 10870 df-z 10938 df-dec 11052 df-uz 11160 df-q 11265 df-rp 11303 df-xneg 11409 df-xadd 11410 df-xmul 11411 df-ioo 11639 df-ioc 11640 df-ico 11641 df-icc 11642 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-fl 12028 df-mod 12097 df-seq 12214 df-exp 12273 df-fac 12460 df-bc 12488 df-hash 12516 df-shft 13130 df-cj 13162 df-re 13163 df-im 13164 df-sqrt 13298 df-abs 13299 df-limsup 13526 df-clim 13552 df-rlim 13553 df-sum 13753 df-ef 14121 df-sin 14123 df-cos 14124 df-tan 14125 df-pi 14126 df-struct 15123 df-ndx 15124 df-slot 15125 df-base 15126 df-sets 15127 df-ress 15128 df-plusg 15203 df-mulr 15204 df-starv 15205 df-sca 15206 df-vsca 15207 df-ip 15208 df-tset 15209 df-ple 15210 df-ds 15212 df-unif 15213 df-hom 15214 df-cco 15215 df-rest 15321 df-topn 15322 df-0g 15340 df-gsum 15341 df-topgen 15342 df-pt 15343 df-prds 15346 df-xrs 15400 df-qtop 15406 df-imas 15407 df-xps 15410 df-mre 15492 df-mrc 15493 df-acs 15495 df-mgm 16488 df-sgrp 16527 df-mnd 16537 df-submnd 16583 df-mulg 16676 df-cntz 16971 df-cmn 17432 df-psmet 18962 df-xmet 18963 df-met 18964 df-bl 18965 df-mopn 18966 df-fbas 18967 df-fg 18968 df-cnfld 18971 df-top 19921 df-bases 19922 df-topon 19923 df-topsp 19924 df-cld 20034 df-ntr 20035 df-cls 20036 df-nei 20114 df-lp 20152 df-perf 20153 df-cn 20243 df-cnp 20244 df-haus 20331 df-cmp 20402 df-tx 20577 df-hmeo 20770 df-fil 20861 df-fm 20953 df-flim 20954 df-flf 20955 df-xms 21335 df-ms 21336 df-tms 21337 df-cncf 21910 df-limc 22821 df-dv 22822 df-log 23506 df-cxp 23507 |
This theorem is referenced by: rplogsumlem2 24323 |
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