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Theorem rplogsumlem1 22692
Description: Lemma for rplogsum 22735. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem1  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem rplogsumlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11791 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ... A )  e. 
Fin )
2 elfzuz 11445 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 2 ... A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3 eluz2b2 10923 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) )
43simplbi 457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  NN )
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 2 ... A )  ->  n  e.  NN )
65adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 11022 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 22031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
92adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
10 uz2m1nn 10925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  -  1 )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN )
126, 11nnmulcld 10365 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  e.  NN )
138, 12nndivred 10366 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
141, 13fsumrecl 13207 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
15 2re 10387 . . . . 5  |-  2  e.  RR
1611nnrpd 11022 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR+ )
1716rpsqrcld 12894 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  RR+ )
18 rerpdivcl 11014 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
1915, 17, 18sylancr 658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  e.  RR )
207rpsqrcld 12894 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
21 rerpdivcl 11014 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  n )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  n ) )  e.  RR )
2215, 20, 21sylancr 658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  n
) )  e.  RR )
2319, 22resubcld 9772 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR )
241, 23fsumrecl 13207 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR )
2515a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  2  e.  RR )
2617rpred 11023 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
276nnred 10333 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  RR )
28 peano2rem 9671 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
3027, 29remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
3130, 23remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  e.  RR )
326nncnd 10334 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  CC )
33 ax-1cn 9336 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
34 npcan 9615 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
3532, 33, 34sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
3635fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
3716rpge0d 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  (
n  -  1 ) )
38 loglesqr 22155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  - 
1 ) )  -> 
( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
4036, 39eqbrtrrd 4311 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
4120rpred 11023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR )
4241, 26readdcld 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
43 remulcl 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  n
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  n
)  x.  2 )  e.  RR )
4441, 15, 43sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  2 )  e.  RR )
4541, 26resubcld 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  RR )
4627lem1d 10262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
477rpge0d 11027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  n
)
4829, 37, 27, 47sqrled 12909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  -  1 )  <_  n 
<->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) ) )
4946, 48mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) )
5041, 26subge0d 9925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <->  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) ) )
5149, 50mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )
5226, 41, 41, 49leadd2dd 9950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  n
) ) )
5320rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  CC )
5453times2d 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  2 )  =  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  n
) ) )
5552, 54breqtrrd 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( ( sqr `  n )  x.  2 ) )
5642, 44, 45, 51, 55lemul1ad 10268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( sqr `  n )  x.  2 )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
5732sqsqrd 12921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  =  n )
58 subcl 9605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
5932, 33, 58sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
6059sqsqrd 12921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( n  -  1 ) )
6157, 60oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( n  -  ( n  - 
1 ) ) )
6217rpcnd 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
63 subsq 11969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  n
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
6453, 62, 63syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
65 nncan 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  (
n  -  1 ) )  =  1 )
6632, 33, 65sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
6761, 64, 663eqtr3d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  1 )
68 2cn 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  2  e.  CC )
7045recnd 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  CC )
7153, 69, 70mulassd 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  2 )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  n )  x.  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) ) )
7256, 67, 713brtr3d 4318 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  1  <_  (
( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
73 1red 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  1  e.  RR )
74 remulcl 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7515, 45, 74sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7641, 75remulcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
7773, 76, 17lemul1d 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  <_ 
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  <->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )
7872, 77mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )
7962mulid2d 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
8075recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
8153, 80, 62mul32d 9575 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
8278, 79, 813brtr3d 4318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( (
( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
83 remsqsqr 12742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  n ) )  =  n )
8427, 47, 83syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n ) )  =  n )
85 remsqsqr 12742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  - 
1 ) )  -> 
( ( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( n  -  1 ) )
8629, 37, 85syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  - 
1 ) )
8784, 86oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n
) )  x.  (
( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )
8853, 53, 62, 62mul4d 9577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n
) )  x.  (
( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
8987, 88eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9017rpcnne0d 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  =/=  0 ) )
9120rpcnne0d 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  e.  CC  /\  ( sqr `  n
)  =/=  0 ) )
92 divsubdiv 10043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC )  /\  ( ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( n  - 
1 ) )  =/=  0 )  /\  (
( sqr `  n
)  e.  CC  /\  ( sqr `  n )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) ) )
9369, 69, 90, 91, 92syl22anc 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
9469, 53, 62subdid 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sqr `  n
) )  -  (
2  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9553, 62mulcomd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
9694, 95oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n
) )  -  (
2  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) ) )
9793, 96eqtr4d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
9889, 97oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) ) )
9953, 62mulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  CC )
10020, 17rpmulcld 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
10175, 100rerpdivcld 11050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
102101recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
10399, 99, 102mulassd 9405 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
104100rpne0d 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =/=  0 )
10580, 99, 104divcan2d 10105 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
106105oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
10798, 103, 1063eqtrd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
10882, 107breqtrrd 4315 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
1098, 26, 31, 40, 108letrd 9524 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
11012nngt0d 10361 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )
111 ledivmul 10201 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR  /\  (
( n  x.  (
n  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <-> 
( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) ) )
1128, 23, 30, 110, 111syl112anc 1217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <-> 
( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
1141, 13, 23, 113fsumle 13258 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
115 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
116115fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )
117116oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )
118 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
119118fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
120119oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
121 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
k  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
122 2m1e1 10432 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  1 )  =  1
123121, 122syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
k  -  1 )  =  1 )
124123fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  1
) )
125 sqr1 12757 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  1 )  =  1
126124, 125syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  1 )
127126oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( k  =  2  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  1
) )
12868div1i 10055 . . . . . 6  |-  ( 2  /  1 )  =  2
129127, 128syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( k  =  2  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  2 )
130 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )
131130fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
( A  +  1 )  -  1 ) ) )
132131oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
133 nnz 10664 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
134 eluzp1p1 10882 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
135 nnuz 10892 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
136134, 135eleq2s 2533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) ) )
137 df-2 10376 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
138137fveq2i 5691 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
139136, 138syl6eleqr 2532 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
140 elfzuz 11445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( A  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
141 uz2m1nn 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( A  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
143142adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN )
144143nnrpd 11022 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR+ )
145144rpsqrcld 12894 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( sqr `  (
k  -  1 ) )  e.  RR+ )
146 rerpdivcl 11014 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( k  -  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
14715, 145, 146sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
k  -  1 ) ) )  e.  RR )
148147recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
k  -  1 ) ) )  e.  CC )
149117, 120, 129, 132, 133, 139, 148fsumtscop 13263 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( 2  -  ( 2  /  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
150 pncan 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
15132, 33, 150sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
152151fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( sqr `  n ) )
153152oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) )
154153oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
155154sumeq2dv 13176 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 2 ... A ) ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
156 nncn 10326 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
157 pncan 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
158156, 33, 157sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
159158fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( sqr `  A
) )
160159oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  ( ( A  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) )
161160oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  -  ( 2  /  ( sqr `  (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( 2  -  (
2  /  ( sqr `  A ) ) ) )
162149, 155, 1613eqtr3d 2481 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( 2  -  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) ) )
163 2rp 10992 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
164 nnrp 10996 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
165164rpsqrcld 12894 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  RR+ )
166 rpdivcl 11009 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  A )  e.  RR+ )  ->  ( 2  /  ( sqr `  A
) )  e.  RR+ )
167163, 165, 166sylancr 658 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR+ )
168167rpge0d 11027 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) )
169167rpred 11023 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
170 subge02 9851 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
2  /  ( sqr `  A ) )  <->  ( 2  -  ( 2  / 
( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 ) )
17115, 169, 170sylancr 658 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
0  <_  ( 2  /  ( sqr `  A
) )  <->  ( 2  -  ( 2  / 
( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 ) )
172168, 171mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  -  ( 2  /  ( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 )
173162, 172eqbrtrd 4309 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <_  2 )
17414, 24, 25, 114, 173letrd 9524 1  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   sum_csu 13159   logclog 21965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968
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