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Theorem rplogsumlem1 22738
Description: Lemma for rplogsum 22781. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem1  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  2 )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem rplogsumlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11800 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ... A )  e. 
Fin )
2 elfzuz 11454 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 2 ... A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3 eluz2b2 10932 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) )
43simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  NN )
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 2 ... A )  ->  n  e.  NN )
65adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 11031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 22077 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
92adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
10 uz2m1nn 10934 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  -  1 )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  NN )
126, 11nnmulcld 10374 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  e.  NN )
138, 12nndivred 10375 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
141, 13fsumrecl 13216 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
15 2re 10396 . . . . 5  |-  2  e.  RR
1611nnrpd 11031 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR+ )
1716rpsqrcld 12903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  RR+ )
18 rerpdivcl 11023 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
1915, 17, 18sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  e.  RR )
207rpsqrcld 12903 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
21 rerpdivcl 11023 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  n )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  n ) )  e.  RR )
2215, 20, 21sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  n
) )  e.  RR )
2319, 22resubcld 9781 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR )
241, 23fsumrecl 13216 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR )
2515a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  2  e.  RR )
2617rpred 11032 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
276nnred 10342 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  RR )
28 peano2rem 9680 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  RR )
3027, 29remulcld 9419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
3130, 23remulcld 9419 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  e.  RR )
326nncnd 10343 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  n  e.  CC )
33 ax-1cn 9345 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
34 npcan 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
3532, 33, 34sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
3635fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
3716rpge0d 11036 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  (
n  -  1 ) )
38 loglesqr 22201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  - 
1 ) )  -> 
( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
4036, 39eqbrtrrd 4319 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  <_  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
4120rpred 11032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR )
4241, 26readdcld 9418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )
43 remulcl 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  n
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  n
)  x.  2 )  e.  RR )
4441, 15, 43sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  2 )  e.  RR )
4541, 26resubcld 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  RR )
4627lem1d 10271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
477rpge0d 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  n
)
4829, 37, 27, 47sqrled 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  -  1 )  <_  n 
<->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) ) )
4946, 48mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) )
5041, 26subge0d 9934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 0  <_ 
( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <->  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  <_  ( sqr `  n ) ) )
5149, 50mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <_  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )
5226, 41, 41, 49leadd2dd 9959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  n
) ) )
5320rpcnd 11034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  CC )
5453times2d 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  2 )  =  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  n
) ) )
5552, 54breqtrrd 4323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( ( sqr `  n )  x.  2 ) )
5642, 44, 45, 51, 55lemul1ad 10277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( sqr `  n )  x.  2 )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
5732sqsqrd 12930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  =  n )
58 subcl 9614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
5932, 33, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  CC )
6059sqsqrd 12930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( n  -  1 ) )
6157, 60oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( n  -  ( n  - 
1 ) ) )
6217rpcnd 11034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
63 subsq 11978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  n
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
6453, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  +  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
65 nncan 9643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( n  -  (
n  -  1 ) )  =  1 )
6632, 33, 65sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  -  ( n  -  1
) )  =  1 )
6761, 64, 663eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  +  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  1 )
68 2cn 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  2  e.  CC )
7045recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  CC )
7153, 69, 70mulassd 9414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  2 )  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( sqr `  n )  x.  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) ) )
7256, 67, 713brtr3d 4326 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  1  <_  (
( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )
73 1red 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  1  e.  RR )
74 remulcl 9372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7515, 45, 74sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7641, 75remulcld 9419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  (
2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
7773, 76, 17lemul1d 11071 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  <_ 
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  <->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )
7872, 77mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )
7962mulid2d 9409 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 1  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )
8075recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
8153, 80, 62mul32d 9584 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
8278, 79, 813brtr3d 4326 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( (
( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
83 remsqsqr 12751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  n ) )  =  n )
8427, 47, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n ) )  =  n )
85 remsqsqr 12751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  - 
1 ) )  -> 
( ( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( n  -  1 ) )
8629, 37, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  - 
1 ) )
8784, 86oveq12d 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n
) )  x.  (
( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )
8853, 53, 62, 62mul4d 9586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  n
) )  x.  (
( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
8987, 88eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( n  x.  ( n  -  1 ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9017rpcnne0d 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  =/=  0 ) )
9120rpcnne0d 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  e.  CC  /\  ( sqr `  n
)  =/=  0 ) )
92 divsubdiv 10052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC )  /\  ( ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( n  - 
1 ) )  =/=  0 )  /\  (
( sqr `  n
)  e.  CC  /\  ( sqr `  n )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  / 
( ( sqr `  (
n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) ) )
9369, 69, 90, 91, 92syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
9469, 53, 62subdid 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( sqr `  n
) )  -  (
2  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
9553, 62mulcomd 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
9694, 95oveq12d 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  n
) )  -  (
2  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  ( n  -  1 ) )  x.  ( sqr `  n ) ) ) )
9793, 96eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
9889, 97oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) ) )
9953, 62mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  CC )
10020, 17rpmulcld 11048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  e.  RR+ )
10175, 100rerpdivcld 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
102101recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) )  e.  CC )
10399, 99, 102mulassd 9414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
104100rpne0d 11037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  =/=  0 )
10580, 99, 104divcan2d 10114 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  n )  -  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
106105oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  x.  (
( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n )  x.  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( ( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
10798, 103, 1063eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  x.  ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  n
)  x.  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  x.  ( 2  x.  (
( sqr `  n
)  -  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) ) ) ) )
10882, 107breqtrrd 4323 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
n  -  1 ) )  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
1098, 26, 31, 40, 108letrd 9533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
11012nngt0d 10370 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  0  <  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )
111 ledivmul 10210 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  e.  RR  /\  (
( n  x.  (
n  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <-> 
( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) ) )
1128, 23, 30, 110, 111syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <-> 
( log `  n
)  <_  ( (
n  x.  ( n  -  1 ) )  x.  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  ( (
2  /  ( sqr `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
1141, 13, 23, 113fsumle 13267 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
115 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
116115fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )
117116oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( n  - 
1 ) ) ) )
118 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
119118fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
120119oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
121 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
k  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
122 2m1e1 10441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  1 )  =  1
123121, 122syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
k  -  1 )  =  1 )
124123fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  1
) )
125 sqr1 12766 . . . . . . . 8  |-  ( sqr `  1 )  =  1
126124, 125syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  1 )
127126oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( k  =  2  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  1
) )
12868div1i 10064 . . . . . 6  |-  ( 2  /  1 )  =  2
129127, 128syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( k  =  2  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  2 )
130 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )
131130fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  ( sqr `  ( k  - 
1 ) )  =  ( sqr `  (
( A  +  1 )  -  1 ) ) )
132131oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( k  =  ( A  + 
1 )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
133 nnz 10673 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
134 eluzp1p1 10891 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
135 nnuz 10901 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
136134, 135eleq2s 2535 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
1  +  1 ) ) )
137 df-2 10385 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
138137fveq2i 5699 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
139136, 138syl6eleqr 2534 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
140 elfzuz 11454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( A  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
141 uz2m1nn 10934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  -  1 )  e.  NN )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( A  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN )
143142adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN )
144143nnrpd 11031 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( k  - 
1 )  e.  RR+ )
145144rpsqrcld 12903 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( sqr `  (
k  -  1 ) )  e.  RR+ )
146 rerpdivcl 11023 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( k  -  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  /  ( sqr `  ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
14715, 145, 146sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
k  -  1 ) ) )  e.  RR )
148147recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( 2 ... ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
k  -  1 ) ) )  e.  CC )
149117, 120, 129, 132, 133, 139, 148fsumtscop 13272 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( 2  -  ( 2  /  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
150 pncan 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
15132, 33, 150sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
152151fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( sqr `  n ) )
153152oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( 2  / 
( sqr `  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  n ) ) )
154153oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  n  e.  ( 2 ... A ) )  ->  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
155154sumeq2dv 13185 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 2 ... A ) ( ( 2  / 
( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) ) )
156 nncn 10335 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
157 pncan 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
158156, 33, 157sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
159158fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sqr `  ( ( A  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( sqr `  A
) )
160159oveq2d 6112 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  ( ( A  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) )
161160oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  -  ( 2  /  ( sqr `  (
( A  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( 2  -  (
2  /  ( sqr `  A ) ) ) )
162149, 155, 1613eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( 2  -  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) ) )
163 2rp 11001 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
164 nnrp 11005 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
165164rpsqrcld 12903 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  ( sqr `  A )  e.  RR+ )
166 rpdivcl 11018 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  ( sqr `  A )  e.  RR+ )  ->  ( 2  /  ( sqr `  A
) )  e.  RR+ )
167163, 165, 166sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR+ )
168167rpge0d 11036 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  /  ( sqr `  A ) ) )
169167rpred 11032 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
170 subge02 9860 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  /  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
2  /  ( sqr `  A ) )  <->  ( 2  -  ( 2  / 
( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 ) )
17115, 169, 170sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
0  <_  ( 2  /  ( sqr `  A
) )  <->  ( 2  -  ( 2  / 
( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 ) )
172168, 171mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  -  ( 2  /  ( sqr `  A
) ) )  <_ 
2 )
173162, 172eqbrtrd 4317 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( 2  /  ( sqr `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
2  /  ( sqr `  n ) ) )  <_  2 )
17414, 24, 25, 114, 173letrd 9533 1  |-  ( A  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 2 ... A
) ( ( log `  n )  /  (
n  x.  ( n  -  1 ) ) )  <_  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442   ^cexp 11870   sqrcsqr 12727   sum_csu 13168   logclog 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014
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