Theorem rplogsumlem1 21131

Description: Lemma for rplogsum 21174. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rplogsumlem1	|- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) <_ 2 )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem rplogsumlem1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11267	. . 3 |- ( A e. NN -> ( 2 ... A ) e. Fin )
2		elfzuz 11011	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 2 ... A ) -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		eluz2b2 10504	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( n e. NN /\ 1 < n ) )
4	3	simplbi 447	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> n e. NN )
5	2, 4	syl 16	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 2 ... A ) -> n e. NN )
6	5	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> n e. NN )
7	6	nnrpd 10603	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> n e. RR+ )
8	7	relogcld 20471	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
9	2	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
10		uz2m1nn 10506	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n - 1 ) e. NN )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n - 1 ) e. NN )
12	6, 11	nnmulcld 10003	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n x. ( n - 1 ) ) e. NN )
13	8, 12	nndivred 10004	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) e. RR )
14	1, 13	fsumrecl 12483	. 2 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) e. RR )
15		2re 10025	. . . . 5 |- 2 e. RR
16	11	nnrpd 10603	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n - 1 ) e. RR+ )
17	16	rpsqrcld 12169	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. RR+ )
18		rerpdivcl 10595	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. RR+ ) -> ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
19	15, 17, 18	sylancr 645	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
20	7	rpsqrcld 12169	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` n ) e. RR+ )
21		rerpdivcl 10595	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` n ) e. RR+ ) -> ( 2 / ( sqr ` n ) ) e. RR )
22	15, 20, 21	sylancr 645	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 2 / ( sqr ` n ) ) e. RR )
23	19, 22	resubcld 9421	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) e. RR )
24	1, 23	fsumrecl 12483	. 2 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) e. RR )
25	15	a1i 11	. 2 |- ( A e. NN -> 2 e. RR )
26	17	rpred 10604	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. RR )
27	6	nnred 9971	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> n e. RR )
28		peano2rem 9323	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( n - 1 ) e. RR )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
30	27, 29	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n x. ( n - 1 ) ) e. RR )
31	30, 23	remulcld 9072	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) e. RR )
32	6	nncnd 9972	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> n e. CC )
33		ax-1cn 9004	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
34		npcan 9270	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
35	32, 33, 34	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
36	35	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( log ` n ) )
37	16	rpge0d 10608	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 0 <_ ( n - 1 ) )
38		loglesqr 20595	. . . . . . 7 |- ( ( ( n - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( n - 1 ) ) -> ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) <_ ( sqr ` ( n - 1 ) ) )
39	29, 37, 38	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( log ` ( ( n - 1 ) + 1 ) ) <_ ( sqr ` ( n - 1 ) ) )
40	36, 39	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( log ` n ) <_ ( sqr ` ( n - 1 ) ) )
41	20	rpred 10604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` n ) e. RR )
42	41, 26	readdcld 9071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
43		remulcl 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` n ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( sqr ` n ) x. 2 ) e. RR )
44	41, 15, 43	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. 2 ) e. RR )
45	41, 26	resubcld 9421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. RR )
46	27	lem1d 9900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n - 1 ) <_ n )
47	7	rpge0d 10608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 0 <_ n )
48	29, 37, 27, 47	sqrled 12184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( n - 1 ) <_ n <-> ( sqr ` ( n - 1 ) ) <_ ( sqr ` n ) ) )
49	46, 48	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( n - 1 ) ) <_ ( sqr ` n ) )
50	41, 26	subge0d 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 0 <_ ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) <-> ( sqr ` ( n - 1 ) ) <_ ( sqr ` n ) ) )
51	49, 50	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 0 <_ ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) )
52	26, 41, 41, 49	leadd2dd 9597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` n ) ) )
53	20	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` n ) e. CC )
54	53	times2d 10167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. 2 ) = ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` n ) ) )
55	52, 54	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( sqr ` n ) x. 2 ) )
56	42, 44, 45, 51, 55	lemul1ad 9906	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( sqr ` n ) x. 2 ) x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
57	32	sqsqrd 12196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) ^ 2 ) = n )
58		subcl 9261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - 1 ) e. CC )
59	32, 33, 58	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n - 1 ) e. CC )
60	59	sqsqrd 12196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) ^ 2 ) = ( n - 1 ) )
61	57, 60	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) ^ 2 ) - ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) ^ 2 ) ) = ( n - ( n - 1 ) ) )
62	17	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. CC )
63		subsq 11443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` n ) e. CC /\ ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. CC ) -> ( ( ( sqr ` n ) ^ 2 ) - ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
64	53, 62, 63	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) ^ 2 ) - ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
65		nncan 9286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( n - ( n - 1 ) ) = 1 )
66	32, 33, 65	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n - ( n - 1 ) ) = 1 )
67	61, 64, 66	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) + ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) = 1 )
68		2cn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 2 e. CC )
70	45	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. CC )
71	53, 69, 70	mulassd 9067	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) x. 2 ) x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
72	56, 67, 71	3brtr3d 4201	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 1 <_ ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
73		1re 9046	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 1 e. RR )
75		remulcl 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
76	15, 45, 75	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
77	41, 76	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) e. RR )
78	74, 77, 17	lemul1d 10643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 1 <_ ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) <-> ( 1 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
79	72, 78	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 1 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) )
80	62	mulid2d 9062	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 1 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) = ( sqr ` ( n - 1 ) ) )
81	76	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) e. CC )
82	53, 81, 62	mul32d 9232	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
83	79, 80, 82	3brtr3d 4201	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( n - 1 ) ) <_ ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
84		remsqsqr 12017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` n ) ) = n )
85	27, 47, 84	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` n ) ) = n )
86		remsqsqr 12017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n - 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( n - 1 ) ) -> ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) = ( n - 1 ) )
87	29, 37, 86	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) = ( n - 1 ) )
88	85, 87	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` n ) ) x. ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( n x. ( n - 1 ) ) )
89	53, 53, 62, 62	mul4d 9234	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` n ) ) x. ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
90	88, 89	eqtr3d 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( n x. ( n - 1 ) ) = ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
91	17	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( n - 1 ) ) =/= 0 ) )
92	20	rpcnne0d 10613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) e. CC /\ ( sqr ` n ) =/= 0 ) )
93		divsubdiv 9686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC ) /\ ( ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( n - 1 ) ) =/= 0 ) /\ ( ( sqr ` n ) e. CC /\ ( sqr ` n ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` n ) ) ) )
94	69, 69, 91, 92, 93	syl22anc 1185	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` n ) ) ) )
95	69, 53, 62	subdid 9445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
96	53, 62	mulcomd 9065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) = ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` n ) ) )
97	95, 96	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( sqr ` n ) ) - ( 2 x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` ( n - 1 ) ) x. ( sqr ` n ) ) ) )
98	94, 97	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
99	90, 98	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) x. ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
100	53, 62	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. CC )
101	20, 17	rpmulcld 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) e. RR+ )
102	76, 101	rerpdivcld 10631	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) e. RR )
103	102	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) e. CC )
104	100, 100, 103	mulassd 9067	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) x. ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) )
105	101	rpne0d 10609	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) =/= 0 )
106	81, 100, 105	divcan2d 9748	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) )
107	106	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) / ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
108	99, 104, 107	3eqtrd 2440	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` n ) x. ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) x. ( 2 x. ( ( sqr ` n ) - ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) ) ) )
109	83, 108	breqtrrd 4198	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( n - 1 ) ) <_ ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) )
110	8, 26, 31, 40, 109	letrd 9183	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( log ` n ) <_ ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) )
111	12	nngt0d 9999	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> 0 < ( n x. ( n - 1 ) ) )
112		ledivmul 9839	. . . . 5 |- ( ( ( log ` n ) e. RR /\ ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) e. RR /\ ( ( n x. ( n - 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( n x. ( n - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) <-> ( log ` n ) <_ ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) ) )
113	8, 23, 30, 111, 112	syl112anc 1188	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) <-> ( log ` n ) <_ ( ( n x. ( n - 1 ) ) x. ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) ) ) )
114	110, 113	mpbird 224	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) <_ ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) )
115	1, 13, 23, 114	fsumle 12533	. 2 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) )
116		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( k - 1 ) = ( n - 1 ) )
117	116	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( sqr ` ( k - 1 ) ) = ( sqr ` ( n - 1 ) ) )
118	117	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( k = n -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) = ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) )
119		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( n + 1 ) - 1 ) )
120	119	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( sqr ` ( k - 1 ) ) = ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) )
121	120	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) = ( 2 / ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) )
122		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( k - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
123		2m1e1 10051	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - 1 ) = 1
124	122, 123	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( k = 2 -> ( k - 1 ) = 1 )
125	124	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( k = 2 -> ( sqr ` ( k - 1 ) ) = ( sqr ` 1 ) )
126		sqr1 12032	. . . . . . . 8 |- ( sqr ` 1 ) = 1
127	125, 126	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( k = 2 -> ( sqr ` ( k - 1 ) ) = 1 )
128	127	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( k = 2 -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) = ( 2 / 1 ) )
129	68	div1i 9698	. . . . . 6 |- ( 2 / 1 ) = 2
130	128, 129	syl6eq 2452	. . . . 5 |- ( k = 2 -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) = 2 )
131		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( k = ( A + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( A + 1 ) - 1 ) )
132	131	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( k = ( A + 1 ) -> ( sqr ` ( k - 1 ) ) = ( sqr ` ( ( A + 1 ) - 1 ) ) )
133	132	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( k = ( A + 1 ) -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) = ( 2 / ( sqr ` ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) )
134		nnz 10259	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
135		eluzp1p1 10467	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
136		nnuz 10477	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
137	135, 136	eleq2s 2496	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
138		df-2 10014	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
139	138	fveq2i 5690	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 2 ) = ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) )
140	137, 139	syl6eleqr 2495	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
141		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
142		uz2m1nn 10506	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( k - 1 ) e. NN )
143	141, 142	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. NN )
144	143	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN )
145	144	nnrpd 10603	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. RR+ )
146	145	rpsqrcld 12169	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) ) -> ( sqr ` ( k - 1 ) ) e. RR+ )
147		rerpdivcl 10595	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( sqr ` ( k - 1 ) ) e. RR+ ) -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) e. RR )
148	15, 146, 147	sylancr 645	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) e. RR )
149	148	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ k e. ( 2 ... ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 / ( sqr ` ( k - 1 ) ) ) e. CC )
150	118, 121, 130, 133, 134, 140, 149	fsumtscop 12538	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( 2 - ( 2 / ( sqr ` ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
151		pncan 9267	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
152	32, 33, 151	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( n + 1 ) - 1 ) = n )
153	152	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) = ( sqr ` n ) )
154	153	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( 2 / ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 2 / ( sqr ` n ) ) )
155	154	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ n e. ( 2 ... A ) ) -> ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) )
156	155	sumeq2dv 12452	. . . 4 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` ( ( n + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) )
157		nncn 9964	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. CC )
158		pncan 9267	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
159	157, 33, 158	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
160	159	fveq2d 5691	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( sqr ` ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( sqr ` A ) )
161	160	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( 2 / ( sqr ` ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 2 / ( sqr ` A ) ) )
162	161	oveq2d 6056	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( 2 - ( 2 / ( sqr ` ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( 2 - ( 2 / ( sqr ` A ) ) ) )
163	150, 156, 162	3eqtr3d 2444	. . 3 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) = ( 2 - ( 2 / ( sqr ` A ) ) ) )
164		2rp 10573	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
165		nnrp 10577	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> A e. RR+ )
166	165	rpsqrcld 12169	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( sqr ` A ) e. RR+ )
167		rpdivcl 10590	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( sqr ` A ) e. RR+ ) -> ( 2 / ( sqr ` A ) ) e. RR+ )
168	164, 166, 167	sylancr 645	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( 2 / ( sqr ` A ) ) e. RR+ )
169	168	rpge0d 10608	. . . 4 |- ( A e. NN -> 0 <_ ( 2 / ( sqr ` A ) ) )
170	168	rpred 10604	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( 2 / ( sqr ` A ) ) e. RR )
171		subge02 9499	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 / ( sqr ` A ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 2 / ( sqr ` A ) ) <-> ( 2 - ( 2 / ( sqr ` A ) ) ) <_ 2 ) )
172	15, 170, 171	sylancr 645	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( 0 <_ ( 2 / ( sqr ` A ) ) <-> ( 2 - ( 2 / ( sqr ` A ) ) ) <_ 2 ) )
173	169, 172	mpbid 202	. . 3 |- ( A e. NN -> ( 2 - ( 2 / ( sqr ` A ) ) ) <_ 2 )
174	163, 173	eqbrtrd 4192	. 2 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( 2 / ( sqr ` ( n - 1 ) ) ) - ( 2 / ( sqr ` n ) ) ) <_ 2 )
175	14, 24, 25, 115, 174	letrd 9183	1 |- ( A e. NN -> sum_ n e. ( 2 ... A ) ( ( log ` n ) / ( n x. ( n - 1 ) ) ) <_ 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993   sum_csu 12434   logclog 20405

This theorem is referenced by:  rplogsumlem2  21132

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408