MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogcld Structured version   Unicode version

Theorem rplogcld 22880
Description: Closure of the logarithm function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
relogefd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rplogcld.2  |-  ( ph  ->  1  <  A )
Assertion
Ref Expression
rplogcld  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rplogcld
StepHypRef Expression
1 relogefd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rplogcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  1  <  A )
3 rplogcl 22855 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( log `  A
)  e.  RR+ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   RRcr 9503   1c1 9505    < clt 9640   RR+crp 11232   logclog 22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810
This theorem is referenced by:  divlogrlim  22882  logno1  22883  cxploglim  23173  cxploglim2  23174  emcllem4  23194  emcllem6  23196  chtge0  23252  isppw  23254  chtwordi  23296  fsumvma2  23355  chpval2  23359  chpchtsum  23360  chpub  23361  bposlem1  23425  chebbnd1lem1  23520  chebbnd1lem3  23522  chebbnd1  23523  chtppilimlem1  23524  chtppilimlem2  23525  chtppilim  23526  chebbnd2  23528  chto1lb  23529  rplogsumlem2  23536  rpvmasumlem  23538  vmalogdivsum2  23589  vmalogdivsum  23590  2vmadivsumlem  23591  chpdifbndlem1  23604  selberg3lem1  23608  selberg3  23610  selberg4lem1  23611  selberg4  23612  selberg3r  23620  selberg4r  23621  selberg34r  23622  pntrlog2bndlem1  23628  pntrlog2bndlem2  23629  pntrlog2bndlem3  23630  pntrlog2bndlem4  23631  pntrlog2bndlem5  23632  pntrlog2bndlem6  23634  pntrlog2bnd  23635  pntibndlem2  23642  pntlemb  23648  pntlemg  23649  pntlemh  23650  pntlemr  23653  pntlemj  23654  pntlemf  23656  pntlemo  23658  pnt  23665  ostth2lem3  23686  ostth2lem4  23687  ostth2  23688  ostth3  23689  logblt  27847
  Copyright terms: Public domain W3C validator