MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcl Structured version   Unicode version

Theorem rphalfcl 11002
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalfcl  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rphalfcl
StepHypRef Expression
1 2rp 10983 . 2  |-  2  e.  RR+
2 rpdivcl 11000 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
31, 2mpan2 664 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080    / cdiv 9980   2c2 10358   RR+crp 10978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-2 10367  df-rp 10979
This theorem is referenced by:  rphalfcld  11026  cau3lem  12825  2clim  13033  addcn2  13054  mulcn2  13056  climcau  13131  metcnpi3  19962  ngptgp  20063  iccntr  20239  reconnlem2  20245  opnreen  20249  xmetdcn2  20255  cnllycmp  20369  iscfil3  20625  cfilfcls  20626  iscmet3lem3  20642  iscmet3lem1  20643  iscmet3lem2  20644  iscmet3  20645  lmcau  20664  bcthlem5  20680  ivthlem2  20777  uniioombl  20910  dvcnvre  21332  aaliou  21688  ulmcaulem  21743  ulmcau  21744  ulmcn  21748  ulmdvlem3  21751  tanregt0  21879  argregt0  21943  argrege0  21944  logimul  21947  resqrcn  22071  asin1  22173  reasinsin  22175  atanbnd  22205  atan1  22207  sqrlim  22250  basellem4  22305  chpchtlim  22612  mulog2sumlem2  22668  pntlem3  22742  vacn  23911  ubthlem1  24093  nmcexi  25252  heicant  28267  ftc1anclem6  28313  ftc1anclem7  28314  ftc1anc  28316  heibor1lem  28549  heiborlem8  28558  bfplem2  28563
  Copyright terms: Public domain W3C validator