MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Structured version   Unicode version

Theorem rpge0 11008
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 11002 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpgt0 11007 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
3 0re 9391 . . 3  |-  0  e.  RR
4 ltle 9468 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
53, 4mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
61, 2, 5sylc 60 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423    <_ cle 9424   RR+crp 10996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-rp 10997
This theorem is referenced by:  rprege0  11010  rpge0d  11036  xralrple  11180  xlemul1  11258  sqrlem1  12737  rpsqrcl  12759  divrcnv  13320  ef01bndlem  13473  stdbdmet  20096  reconnlem2  20409  cphsqrcl3  20711  iscmet3lem3  20806  minveclem3  20921  itg2const2  21224  itg2mulclem  21229  aalioulem2  21804  pige3  21984  argregt0  22064  argrege0  22065  cxpcn3  22191  cxplim  22370  cxp2lim  22375  divsqrsumlem  22378  logdiflbnd  22393  basellem4  22426  ppiltx  22520  bposlem8  22635  bposlem9  22636  chebbnd1  22726  mulog2sumlem2  22789  selbergb  22803  selberg2b  22806  nmcexi  25435  nmcopexi  25436  nmcfnexi  25460  sqsscirc1  26343  subfacval3  27082  heicant  28431  itg2addnclem  28448  itg2gt0cn  28452  areacirclem1  28489  areacirclem4  28492  areacirc  28494  cntotbnd  28700
  Copyright terms: Public domain W3C validator