MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Structured version   Unicode version

Theorem rpge0 11257
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 11251 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpgt0 11256 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
3 0re 9613 . . 3  |-  0  e.  RR
4 ltle 9690 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
53, 4mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
61, 2, 5sylc 60 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   RR+crp 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-rp 11246
This theorem is referenced by:  rprege0  11259  rpge0d  11285  xralrple  11429  xlemul1  11507  sqrlem1  13087  rpsqrtcl  13109  divrcnv  13675  ef01bndlem  13930  stdbdmet  21144  reconnlem2  21457  cphsqrtcl3  21759  iscmet3lem3  21854  minveclem3  21969  itg2const2  22273  itg2mulclem  22278  aalioulem2  22854  pige3  23035  argregt0  23120  argrege0  23121  cxpcn3  23247  cxplim  23426  cxp2lim  23431  divsqrtsumlem  23434  logdiflbnd  23449  basellem4  23482  ppiltx  23576  bposlem8  23691  bposlem9  23692  chebbnd1  23782  mulog2sumlem2  23845  selbergb  23859  selberg2b  23862  nmcexi  27071  nmcopexi  27072  nmcfnexi  27096  sqsscirc1  28043  subfacval3  28808  heicant  30211  itg2addnclem  30228  itg2gt0cn  30232  areacirclem1  30269  areacirclem4  30272  areacirc  30274  cntotbnd  30454  fourierdlem103  32153
  Copyright terms: Public domain W3C validator