MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Structured version   Unicode version

Theorem rpge0 11228
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 11222 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rpgt0 11227 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
3 0re 9592 . . 3  |-  0  e.  RR
4 ltle 9669 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  A  ->  0  <_  A )
)
53, 4mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <_  A ) )
61, 2, 5sylc 60 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487   0cc0 9488    < clt 9624    <_ cle 9625   RR+crp 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-rp 11217
This theorem is referenced by:  rprege0  11230  rpge0d  11256  xralrple  11400  xlemul1  11478  sqrlem1  13035  rpsqrtcl  13057  divrcnv  13623  ef01bndlem  13776  stdbdmet  20754  reconnlem2  21067  cphsqrtcl3  21369  iscmet3lem3  21464  minveclem3  21579  itg2const2  21883  itg2mulclem  21888  aalioulem2  22463  pige3  22643  argregt0  22723  argrege0  22724  cxpcn3  22850  cxplim  23029  cxp2lim  23034  divsqrtsumlem  23037  logdiflbnd  23052  basellem4  23085  ppiltx  23179  bposlem8  23294  bposlem9  23295  chebbnd1  23385  mulog2sumlem2  23448  selbergb  23462  selberg2b  23465  nmcexi  26621  nmcopexi  26622  nmcfnexi  26646  sqsscirc1  27526  subfacval3  28273  heicant  29626  itg2addnclem  29643  itg2gt0cn  29647  areacirclem1  29684  areacirclem4  29687  areacirc  29689  cntotbnd  29895
  Copyright terms: Public domain W3C validator