MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Structured version   Unicode version

Theorem rpexpcl 11887
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 11009 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 11004 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 9342 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3368 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 11015 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 10998 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 11017 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 11880 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1218 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2609  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    / cdiv 9996   ZZcz 10649   RR+crp 10994   ^cexp 11868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-seq 11810  df-exp 11869
This theorem is referenced by:  expgt0  11900  ltexp2a  11918  expcan  11919  ltexp2  11920  leexp2a  11922  ltexp2r  11923  expnlbnd2  11998  rpexpcld  12034  expcnv  13329  effsumlt  13398  ef01bndlem  13471  rpnnen2lem11  13510  iscmet3lem3  20804  iscmet3lem1  20805  iscmet3lem2  20806  iscmet3  20807  minveclem3  20919  pjthlem1  20927  aaliou3lem1  21811  aaliou3lem2  21812  aaliou3lem3  21813  aaliou3lem8  21814  aaliou3lem5  21816  aaliou3lem6  21817  aaliou3lem7  21818  aaliou3lem9  21819  tanregt0  21998  asinlem3  22269  cxp2limlem  22372  ftalem5  22417  basellem3  22423  basellem4  22424  basellem8  22428  chebbnd1lem3  22723  dchrisum0lem1a  22738  dchrisum0lem1b  22767  dchrisum0lem1  22768  dchrisum0lem2a  22769  dchrisum0lem2  22770  dchrisum0lem3  22771  pntlemd  22846  pntlema  22848  pntlemb  22849  pntlemh  22851  pntlemr  22854  pntlemi  22856  pntlemf  22857  pntlemo  22859  pntlem3  22861  pntleml  22863  ostth2lem1  22870  ostth3  22890  minvecolem3  24280  pjhthlem1  24797  dya2icoseg  26695  faclimlem3  27554  geomcau  28658
  Copyright terms: Public domain W3C validator