MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Structured version   Unicode version

Theorem rpexpcl 12149
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 11231 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 11226 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 9545 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3513 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 11237 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 11220 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 11239 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 12142 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1228 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    / cdiv 10202   ZZcz 10860   RR+crp 11216   ^cexp 12130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12072  df-exp 12131
This theorem is referenced by:  expgt0  12163  ltexp2a  12181  expcan  12182  ltexp2  12183  leexp2a  12185  ltexp2r  12186  expnlbnd2  12261  rpexpcld  12297  expcnv  13634  effsumlt  13703  ef01bndlem  13776  rpnnen2lem11  13815  iscmet3lem3  21464  iscmet3lem1  21465  iscmet3lem2  21466  iscmet3  21467  minveclem3  21579  pjthlem1  21587  aaliou3lem1  22472  aaliou3lem2  22473  aaliou3lem3  22474  aaliou3lem8  22475  aaliou3lem5  22477  aaliou3lem6  22478  aaliou3lem7  22479  aaliou3lem9  22480  tanregt0  22659  asinlem3  22930  cxp2limlem  23033  ftalem5  23078  basellem3  23084  basellem4  23085  basellem8  23089  chebbnd1lem3  23384  dchrisum0lem1a  23399  dchrisum0lem1b  23428  dchrisum0lem1  23429  dchrisum0lem2a  23430  dchrisum0lem2  23431  dchrisum0lem3  23432  pntlemd  23507  pntlema  23509  pntlemb  23510  pntlemh  23512  pntlemr  23515  pntlemi  23517  pntlemf  23518  pntlemo  23520  pntlem3  23522  pntleml  23524  ostth2lem1  23531  ostth3  23551  minvecolem3  25468  pjhthlem1  25985  dya2icoseg  27888  faclimlem3  28747  geomcau  29855
  Copyright terms: Public domain W3C validator