MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Structured version   Unicode version

Theorem rpexpcl 12170
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 11236 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 459 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 11231 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 9538 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3498 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 11243 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 11225 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 11245 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 463 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 12163 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1226 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    =/= wne 2649  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    / cdiv 10202   ZZcz 10860   RR+crp 11221   ^cexp 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-seq 12093  df-exp 12152
This theorem is referenced by:  expgt0  12184  ltexp2a  12202  expcan  12203  ltexp2  12204  leexp2a  12206  ltexp2r  12207  expnlbnd2  12282  rpexpcld  12318  expcnv  13760  effsumlt  13931  ef01bndlem  14004  rpnnen2lem11  14045  iscmet3lem3  21898  iscmet3lem1  21899  iscmet3lem2  21900  iscmet3  21901  minveclem3  22013  pjthlem1  22021  aaliou3lem1  22907  aaliou3lem2  22908  aaliou3lem3  22909  aaliou3lem8  22910  aaliou3lem5  22912  aaliou3lem6  22913  aaliou3lem7  22914  aaliou3lem9  22915  tanregt0  23095  asinlem3  23402  cxp2limlem  23506  ftalem5  23551  basellem3  23557  basellem4  23558  basellem8  23562  chebbnd1lem3  23857  dchrisum0lem1a  23872  dchrisum0lem1b  23901  dchrisum0lem1  23902  dchrisum0lem2a  23903  dchrisum0lem2  23904  dchrisum0lem3  23905  pntlemd  23980  pntlema  23982  pntlemb  23983  pntlemh  23985  pntlemr  23988  pntlemi  23990  pntlemf  23991  pntlemo  23993  pntlem3  23995  pntleml  23997  ostth2lem1  24004  ostth3  24024  minvecolem3  25993  pjhthlem1  26510  dya2icoseg  28488  faclimlem3  29414  geomcau  30495  dignnld  33497
  Copyright terms: Public domain W3C validator