MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcl Structured version   Unicode version

Theorem rpexpcl 11880
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR+ )
2 rpne0 11002 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  =/=  0 )
32adantr 462 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  =/=  0 )
4 simpr 458 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
5 rpssre 10997 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
6 ax-resscn 9335 . . . 4  |-  RR  C_  CC
75, 6sstri 3362 . . 3  |-  RR+  C_  CC
8 rpmulcl 11008 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR+ )  ->  (
x  x.  y )  e.  RR+ )
9 1rp 10991 . . 3  |-  1  e.  RR+
10 rpreccl 11010 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1110adantr 462 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  RR+ )
127, 8, 9, 11expcl2lem 11873 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
131, 3, 4, 12syl3anc 1213 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761    =/= wne 2604  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    / cdiv 9989   ZZcz 10642   RR+crp 10987   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862
This theorem is referenced by:  expgt0  11893  ltexp2a  11911  expcan  11912  ltexp2  11913  leexp2a  11915  ltexp2r  11916  expnlbnd2  11991  rpexpcld  12027  expcnv  13322  effsumlt  13391  ef01bndlem  13464  rpnnen2lem11  13503  iscmet3lem3  20760  iscmet3lem1  20761  iscmet3lem2  20762  iscmet3  20763  minveclem3  20875  pjthlem1  20883  aaliou3lem1  21767  aaliou3lem2  21768  aaliou3lem3  21769  aaliou3lem8  21770  aaliou3lem5  21772  aaliou3lem6  21773  aaliou3lem7  21774  aaliou3lem9  21775  tanregt0  21954  asinlem3  22225  cxp2limlem  22328  ftalem5  22373  basellem3  22379  basellem4  22380  basellem8  22384  chebbnd1lem3  22679  dchrisum0lem1a  22694  dchrisum0lem1b  22723  dchrisum0lem1  22724  dchrisum0lem2a  22725  dchrisum0lem2  22726  dchrisum0lem3  22727  pntlemd  22802  pntlema  22804  pntlemb  22805  pntlemh  22807  pntlemr  22810  pntlemi  22812  pntlemf  22813  pntlemo  22815  pntlem3  22817  pntleml  22819  ostth2lem1  22826  ostth3  22846  minvecolem3  24212  pjhthlem1  24729  dya2icoseg  26628  faclimlem3  27480  geomcau  28580
  Copyright terms: Public domain W3C validator