MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcl 11009
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 10993 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 11003 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 10046 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1183 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 474 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 10989 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 10989 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 10193 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 476 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 10989 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 659 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    < clt 9414    / cdiv 9989   RR+crp 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-rp 10988
This theorem is referenced by:  rpreccl  11010  rphalfcl  11011  rpdivcld  11040  bcrpcl  12080  sqrlem7  12734  caurcvgr  13147  isprm5  13794  4sqlem12  14013  sylow1lem1  16090  metss2lem  20045  metss2  20046  minveclem3  20875  ovoliunlem3  20946  vitalilem4  21050  aaliou3lem8  21770  abelthlem8  21863  pige3  21938  advlogexp  22059  atan1  22282  log2cnv  22298  cxp2limlem  22328  harmonicbnd4  22363  basellem1  22377  logexprlim  22523  logfacrlim2  22524  bcmono  22575  bposlem1  22582  bposlem7  22588  bposlem9  22590  rplogsumlem1  22692  dchrisumlem3  22699  dchrvmasum2lem  22704  dchrvmasum2if  22705  dchrvmasumlem2  22706  dchrvmasumlem3  22707  dchrvmasumiflem2  22710  dchrisum0lem2a  22725  dchrisum0lem2  22726  mudivsum  22738  mulogsumlem  22739  mulogsum  22740  mulog2sumlem1  22742  mulog2sumlem2  22743  mulog2sumlem3  22744  selberglem1  22753  selberglem2  22754  selberg  22756  selberg3lem1  22765  selbergr  22776  pntpbnd1a  22793  pntibndlem1  22797  pntibndlem3  22800  pntlema  22804  pntlemb  22805  pntlemg  22806  pntlemr  22810  pntlemj  22811  pntlemf  22813  smcnlem  24027  blocnilem  24139  minvecolem3  24212  nmcexi  25365  circum  27248  faclim  27481  mblfinlem3  28355  itg2addnclem2  28369  itg2addnclem3  28370  ftc1anclem7  28398  ftc1anc  28400  heiborlem5  28639  heiborlem7  28641  proot1ex  29494  taupilem1  35337
  Copyright terms: Public domain W3C validator