MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcl 11034
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11018 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 11028 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 10071 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1188 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 11014 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 11014 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 10218 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 479 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 11014 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    < clt 9439    / cdiv 10014   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  rpreccl  11035  rphalfcl  11036  rpdivcld  11065  bcrpcl  12105  sqrlem7  12759  caurcvgr  13172  isprm5  13819  4sqlem12  14038  sylow1lem1  16118  metss2lem  20108  metss2  20109  minveclem3  20938  ovoliunlem3  21009  vitalilem4  21113  aaliou3lem8  21833  abelthlem8  21926  pige3  22001  advlogexp  22122  atan1  22345  log2cnv  22361  cxp2limlem  22391  harmonicbnd4  22426  basellem1  22440  logexprlim  22586  logfacrlim2  22587  bcmono  22638  bposlem1  22645  bposlem7  22651  bposlem9  22653  rplogsumlem1  22755  dchrisumlem3  22762  dchrvmasum2lem  22767  dchrvmasum2if  22768  dchrvmasumlem2  22769  dchrvmasumlem3  22770  dchrvmasumiflem2  22773  dchrisum0lem2a  22788  dchrisum0lem2  22789  mudivsum  22801  mulogsumlem  22802  mulogsum  22803  mulog2sumlem1  22805  mulog2sumlem2  22806  mulog2sumlem3  22807  selberglem1  22816  selberglem2  22817  selberg  22819  selberg3lem1  22828  selbergr  22839  pntpbnd1a  22856  pntibndlem1  22860  pntibndlem3  22863  pntlema  22867  pntlemb  22868  pntlemg  22869  pntlemr  22873  pntlemj  22874  pntlemf  22876  smcnlem  24114  blocnilem  24226  minvecolem3  24299  nmcexi  25452  circum  27341  faclim  27574  mblfinlem3  28456  itg2addnclem2  28470  itg2addnclem3  28471  ftc1anclem7  28499  ftc1anc  28501  heiborlem5  28740  heiborlem7  28742  proot1ex  29595  taupilem1  35711
  Copyright terms: Public domain W3C validator