MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcl 11243
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11227 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 11237 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 10264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1197 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 11223 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 11223 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 10411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 479 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 11223 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493    < clt 9629    / cdiv 10207   RR+crp 11221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-rp 11222
This theorem is referenced by:  rpreccl  11244  rphalfcl  11245  rpdivcld  11274  bcrpcl  12355  sqrlem7  13048  caurcvgr  13462  isprm5  14115  4sqlem12  14336  sylow1lem1  16433  metss2lem  20841  metss2  20842  minveclem3  21671  ovoliunlem3  21742  vitalilem4  21847  aaliou3lem8  22567  abelthlem8  22660  pige3  22735  advlogexp  22861  atan1  23084  log2cnv  23100  cxp2limlem  23130  harmonicbnd4  23165  basellem1  23179  logexprlim  23325  logfacrlim2  23326  bcmono  23377  bposlem1  23384  bposlem7  23390  bposlem9  23392  rplogsumlem1  23494  dchrisumlem3  23501  dchrvmasum2lem  23506  dchrvmasum2if  23507  dchrvmasumlem2  23508  dchrvmasumlem3  23509  dchrvmasumiflem2  23512  dchrisum0lem2a  23527  dchrisum0lem2  23528  mudivsum  23540  mulogsumlem  23541  mulogsum  23542  mulog2sumlem1  23544  mulog2sumlem2  23545  mulog2sumlem3  23546  selberglem1  23555  selberglem2  23556  selberg  23558  selberg3lem1  23567  selbergr  23578  pntpbnd1a  23595  pntibndlem1  23599  pntibndlem3  23602  pntlema  23606  pntlemb  23607  pntlemg  23608  pntlemr  23612  pntlemj  23613  pntlemf  23615  smcnlem  25380  blocnilem  25492  minvecolem3  25565  nmcexi  26718  circum  28791  faclim  29024  mblfinlem3  29906  itg2addnclem2  29920  itg2addnclem3  29921  ftc1anclem7  29949  ftc1anc  29951  heiborlem5  30141  heiborlem7  30143  proot1ex  30993  taupilem1  36984
  Copyright terms: Public domain W3C validator