MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rpdivcl 11244
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpdivcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11227 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 rprene0 11237 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
3 redivcl 10259 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
433expb 1195 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
51, 2, 4syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
6 elrp 11223 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
7 elrp 11223 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
8 divgt0 10406 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
96, 7, 8syl2anb 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <  ( A  /  B
) )
10 elrp 11223 . 2  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR+  <->  ( ( A  /  B )  e.  RR  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
115, 9, 10sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  /  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    / cdiv 10202   RR+crp 11221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-rp 11222
This theorem is referenced by:  rpreccl  11245  rphalfcl  11246  rpdivcld  11276  bcrpcl  12368  sqrlem7  13164  caurcvgr  13578  isprm5  14337  4sqlem12  14558  sylow1lem1  16817  metss2lem  21180  metss2  21181  minveclem3  22010  ovoliunlem3  22081  vitalilem4  22186  aaliou3lem8  22907  abelthlem8  23000  pige3  23076  advlogexp  23204  atan1  23456  log2cnv  23472  cxp2limlem  23503  harmonicbnd4  23538  basellem1  23552  logexprlim  23698  logfacrlim2  23699  bcmono  23750  bposlem1  23757  bposlem7  23763  bposlem9  23765  rplogsumlem1  23867  dchrisumlem3  23874  dchrvmasum2lem  23879  dchrvmasum2if  23880  dchrvmasumlem2  23881  dchrvmasumlem3  23882  dchrvmasumiflem2  23885  dchrisum0lem2a  23900  dchrisum0lem2  23901  mudivsum  23913  mulogsumlem  23914  mulogsum  23915  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  mulog2sumlem3  23919  selberglem1  23928  selberglem2  23929  selberg  23931  selberg3lem1  23940  selbergr  23951  pntpbnd1a  23968  pntibndlem1  23972  pntibndlem3  23975  pntlema  23979  pntlemb  23980  pntlemg  23981  pntlemr  23985  pntlemj  23986  pntlemf  23988  smcnlem  25805  blocnilem  25917  minvecolem3  25990  nmcexi  27143  circum  29304  faclim  29412  mblfinlem3  30293  itg2addnclem2  30307  itg2addnclem3  30308  ftc1anclem7  30336  ftc1anc  30338  heiborlem5  30551  heiborlem7  30553  proot1ex  31402  taupilem1  38093
  Copyright terms: Public domain W3C validator