MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcxpcl Structured version   Unicode version

Theorem rpcxpcl 23243
Description: Positive real closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpcxpcl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpcxpcl
StepHypRef Expression
1 rprege0 11197 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 recxpcl 23242 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR )
323expa 1197 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR )
41, 3sylan 469 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR )
5 id 22 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR )
6 relogcl 23147 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
7 remulcl 9527 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
85, 6, 7syl2anr 476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
9 efgt0 13939 . . . 4  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  0  <  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
11 rpcnne0 11200 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
12 recn 9532 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
13 cxpef 23232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
14133expa 1197 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
1511, 12, 14syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
1610, 15breqtrrd 4420 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  0  <  ( A  ^c  B ) )
174, 16elrpd 11219 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^c  B )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442    x. cmul 9447    < clt 9578    <_ cle 9579   RR+crp 11183   expce 13898   logclog 23126    ^c ccxp 23127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455  df-log 23128  df-cxp 23129
This theorem is referenced by:  cxpge0  23250  cxple2  23264  cxplt3  23267  cxple3  23268  cxpsqrt  23270  rpcxpcld  23297  relogbmulexp  23337  cxplim  23519  cxp2limlem  23523  zetacvg  23562  bposlem6  23837
  Copyright terms: Public domain W3C validator