MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcoshcl Structured version   Unicode version

Theorem rpcoshcl 13560
Description: The hyperbolic cosine of a real number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpcoshcl  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpcoshcl
StepHypRef Expression
1 recn 9484 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 coshval 13558 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( ( exp `  A )  +  ( exp `  -u A
) )  /  2
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( ( exp `  A )  +  ( exp `  -u A
) )  /  2
) )
4 rpefcl 13507 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR+ )
5 renegcl 9784 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
65rpefcld 13508 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  -u A )  e.  RR+ )
74, 6rpaddcld 11154 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( exp `  A
)  +  ( exp `  -u A ) )  e.  RR+ )
87rphalfcld 11151 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( exp `  A
)  +  ( exp `  -u A ) )  /  2 )  e.  RR+ )
93, 8eqeltrd 2542 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( cos `  ( _i  x.  A ) )  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   _ici 9396    + caddc 9397    x. cmul 9399   -ucneg 9708    / cdiv 10105   2c2 10483   RR+crp 11103   expce 13466   cosccos 13469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-ico 11418  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-cos 13475
This theorem is referenced by:  recoshcl  13561  retanhcl  13562  tanhlt1  13563  tanhbnd  13564  tanregt0  22129
  Copyright terms: Public domain W3C validator