MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Unicode version

Theorem rpcnne0d 10613
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 10606 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 10609 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2567   CCcc 8944   0cc0 8946   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  expcnv  12598  mertenslem1  12616  ovolscalem1  19362  aalioulem2  20203  aalioulem3  20204  dvsqr  20581  cxpcn3lem  20584  divsqrsumlem  20771  logexprlim  20962  chebbnd1lem3  21118  chebbnd1  21119  chtppilimlem1  21120  chtppilimlem2  21121  chebbnd2  21124  chpchtlim  21126  chpo1ub  21127  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasumlem2  21145  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  rplogsum  21174  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  selberglem1  21192  pntrmax  21211  pntpbnd1a  21232  pntibndlem2  21238  pntlemc  21242  pntlemb  21244  pntlemn  21247  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  pnt2  21260  bcm1n  24104  rnlogbval  24353  relogbcl  24355  nnlogbexp  24357  jm2.21  26955  stoweidlem25  27641  stoweidlem42  27658  wallispilem4  27684  stirlinglem10  27699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator