MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Unicode version

Theorem rpcnne0d 11312
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 11305 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 11308 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   CCcc 9519   0cc0 9521   RR+crp 11264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-rp 11265
This theorem is referenced by:  expcnv  13825  mertenslem1  13843  ovolscalem1  22214  aalioulem2  23019  aalioulem3  23020  dvsqrt  23410  cxpcn3lem  23415  relogbval  23437  relogbcl  23438  nnlogbexp  23446  divsqrtsumlem  23633  logexprlim  23879  chebbnd1lem3  24035  chebbnd1  24036  chtppilimlem1  24037  chtppilimlem2  24038  chebbnd2  24041  chpchtlim  24043  chpo1ub  24044  rplogsumlem1  24048  rplogsumlem2  24049  rpvmasumlem  24051  dchrvmasumlem1  24059  dchrvmasum2lem  24060  dchrvmasumlem2  24062  dchrisum0fno1  24075  dchrisum0lem1b  24079  dchrisum0lem1  24080  dchrisum0lem2a  24081  dchrisum0lem2  24082  dchrisum0lem3  24083  rplogsum  24091  mulogsum  24096  mulog2sumlem1  24098  selberglem1  24109  pntrmax  24128  pntpbnd1a  24149  pntibndlem2  24155  pntlemc  24159  pntlemb  24161  pntlemn  24164  pntlemr  24166  pntlemj  24167  pntlemf  24169  pntlemk  24170  pntlemo  24171  pnt2  24177  bcm1n  28034  jm2.21  35278  stoweidlem25  37156  stoweidlem42  37173  wallispilem4  37199  stirlinglem10  37214  fourierdlem39  37277  dignn0flhalflem1  38727  dignn0flhalflem2  38728
  Copyright terms: Public domain W3C validator