MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Unicode version

Theorem rpcnne0d 11261
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 11254 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 11257 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662   CCcc 9486   0cc0 9488   RR+crp 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-rp 11217
This theorem is referenced by:  expcnv  13631  mertenslem1  13649  ovolscalem1  21656  aalioulem2  22460  aalioulem3  22461  dvsqrt  22843  cxpcn3lem  22846  divsqrtsumlem  23034  logexprlim  23225  chebbnd1lem3  23381  chebbnd1  23382  chtppilimlem1  23383  chtppilimlem2  23384  chebbnd2  23387  chpchtlim  23389  chpo1ub  23390  rplogsumlem1  23394  rplogsumlem2  23395  rpvmasumlem  23397  dchrvmasumlem1  23405  dchrvmasum2lem  23406  dchrvmasumlem2  23408  dchrisum0fno1  23421  dchrisum0lem1b  23425  dchrisum0lem1  23426  dchrisum0lem2a  23427  dchrisum0lem2  23428  dchrisum0lem3  23429  rplogsum  23437  mulogsum  23442  mulog2sumlem1  23444  selberglem1  23455  pntrmax  23474  pntpbnd1a  23495  pntibndlem2  23501  pntlemc  23505  pntlemb  23507  pntlemn  23510  pntlemr  23512  pntlemj  23513  pntlemf  23515  pntlemk  23516  pntlemo  23517  pnt2  23523  bcm1n  27265  rnlogbval  27653  relogbcl  27655  nnlogbexp  27657  jm2.21  30540  stoweidlem25  31325  stoweidlem42  31342  wallispilem4  31368  stirlinglem10  31383
  Copyright terms: Public domain W3C validator