MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Unicode version

Theorem rpcnne0d 11024
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 11017 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 11020 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    =/= wne 2596   CCcc 9268   0cc0 9270   RR+crp 10979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-rp 10980
This theorem is referenced by:  expcnv  13309  mertenslem1  13327  ovolscalem1  20838  aalioulem2  21684  aalioulem3  21685  dvsqr  22067  cxpcn3lem  22070  divsqrsumlem  22258  logexprlim  22449  chebbnd1lem3  22605  chebbnd1  22606  chtppilimlem1  22607  chtppilimlem2  22608  chebbnd2  22611  chpchtlim  22613  chpo1ub  22614  rplogsumlem1  22618  rplogsumlem2  22619  rpvmasumlem  22621  dchrvmasumlem1  22629  dchrvmasum2lem  22630  dchrvmasumlem2  22632  dchrisum0fno1  22645  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrisum0lem2a  22651  dchrisum0lem2  22652  dchrisum0lem3  22653  rplogsum  22661  mulogsum  22666  mulog2sumlem1  22668  selberglem1  22679  pntrmax  22698  pntpbnd1a  22719  pntibndlem2  22725  pntlemc  22729  pntlemb  22731  pntlemn  22734  pntlemr  22736  pntlemj  22737  pntlemf  22739  pntlemk  22740  pntlemo  22741  pnt2  22747  bcm1n  25902  rnlogbval  26313  relogbcl  26315  nnlogbexp  26317  jm2.21  29188  stoweidlem25  29666  stoweidlem42  29683  wallispilem4  29709  stirlinglem10  29724
  Copyright terms: Public domain W3C validator