MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Unicode version

Theorem rpcnne0d 11146
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 11139 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 11142 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2647   CCcc 9390   0cc0 9392   RR+crp 11101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-ltxr 9533  df-rp 11102
This theorem is referenced by:  expcnv  13443  mertenslem1  13461  ovolscalem1  21127  aalioulem2  21931  aalioulem3  21932  dvsqr  22314  cxpcn3lem  22317  divsqrsumlem  22505  logexprlim  22696  chebbnd1lem3  22852  chebbnd1  22853  chtppilimlem1  22854  chtppilimlem2  22855  chebbnd2  22858  chpchtlim  22860  chpo1ub  22861  rplogsumlem1  22865  rplogsumlem2  22866  rpvmasumlem  22868  dchrvmasumlem1  22876  dchrvmasum2lem  22877  dchrvmasumlem2  22879  dchrisum0fno1  22892  dchrisum0lem1b  22896  dchrisum0lem1  22897  dchrisum0lem2a  22898  dchrisum0lem2  22899  dchrisum0lem3  22900  rplogsum  22908  mulogsum  22913  mulog2sumlem1  22915  selberglem1  22926  pntrmax  22945  pntpbnd1a  22966  pntibndlem2  22972  pntlemc  22976  pntlemb  22978  pntlemn  22981  pntlemr  22983  pntlemj  22984  pntlemf  22986  pntlemk  22987  pntlemo  22988  pnt2  22994  bcm1n  26223  rnlogbval  26603  relogbcl  26605  nnlogbexp  26607  jm2.21  29490  stoweidlem25  29967  stoweidlem42  29984  wallispilem4  30010  stirlinglem10  30025
  Copyright terms: Public domain W3C validator