MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Unicode version

Theorem rpcnne0d 11028
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 11021 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31rpne0d 11024 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
42, 3jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   CCcc 9272   0cc0 9274   RR+crp 10983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-rp 10984
This theorem is referenced by:  expcnv  13318  mertenslem1  13336  ovolscalem1  20971  aalioulem2  21774  aalioulem3  21775  dvsqr  22157  cxpcn3lem  22160  divsqrsumlem  22348  logexprlim  22539  chebbnd1lem3  22695  chebbnd1  22696  chtppilimlem1  22697  chtppilimlem2  22698  chebbnd2  22701  chpchtlim  22703  chpo1ub  22704  rplogsumlem1  22708  rplogsumlem2  22709  rpvmasumlem  22711  dchrvmasumlem1  22719  dchrvmasum2lem  22720  dchrvmasumlem2  22722  dchrisum0fno1  22735  dchrisum0lem1b  22739  dchrisum0lem1  22740  dchrisum0lem2a  22741  dchrisum0lem2  22742  dchrisum0lem3  22743  rplogsum  22751  mulogsum  22756  mulog2sumlem1  22758  selberglem1  22769  pntrmax  22788  pntpbnd1a  22809  pntibndlem2  22815  pntlemc  22819  pntlemb  22821  pntlemn  22824  pntlemr  22826  pntlemj  22827  pntlemf  22829  pntlemk  22830  pntlemo  22831  pnt2  22837  bcm1n  26030  rnlogbval  26411  relogbcl  26413  nnlogbexp  26415  jm2.21  29296  stoweidlem25  29773  stoweidlem42  29790  wallispilem4  29816  stirlinglem10  29831
  Copyright terms: Public domain W3C validator