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Theorem rp-fakeinunass 36172
Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
rp-fakeinunass  |-  ( C 
C_  A  <->  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) )

Proof of Theorem rp-fakeinunass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rp-fakeanorass 36169 . . 3  |-  ( ( x  e.  C  ->  x  e.  A )  <->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
21albii 1693 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  C  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
3 dfss2 3423 . 2  |-  ( C 
C_  A  <->  A. x
( x  e.  C  ->  x  e.  A ) )
4 dfcleq 2447 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  A. x
( x  e.  ( ( A  i^i  B
)  u.  C )  <-> 
x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) ) )
5 elun 3576 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  \/  x  e.  C ) )
6 elin 3619 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
76orbi1i 523 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  B )  \/  x  e.  C )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C ) )
85, 7bitri 253 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C
) )
9 elin 3619 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B  u.  C
) ) )
10 elun 3576 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  u.  C )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  C ) )
1110anbi2i 701 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B  u.  C ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) )
129, 11bitri 253 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) )
138, 12bibi12i 317 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <->  x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C )
) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
1413albii 1693 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <-> 
x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) )  <->  A. x ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  B  \/  x  e.  C ) ) ) )
154, 14bitri 253 . 2  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  A. x
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
162, 3, 153bitr4i 281 1  |-  ( C 
C_  A  <->  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   A.wal 1444    = wceq 1446    e. wcel 1889    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-v 3049  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420
This theorem is referenced by:  rp-fakeuninass  36173
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