Theorem rp-fakeinunass 36172

Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rp-fakeinunass	|- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Proof of Theorem rp-fakeinunass

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rp-fakeanorass 36169	. . 3 |- ( ( x e. C -> x e. A ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
2	1	albii 1693	. 2 |- ( A. x ( x e. C -> x e. A ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
3		dfss2 3423	. 2 |- ( C C_ A <-> A. x ( x e. C -> x e. A ) )
4		dfcleq 2447	. . 3 |- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) )
5		elun 3576	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) )
6		elin 3619	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
7	6	orbi1i 523	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
8	5, 7	bitri 253	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
9		elin 3619	. . . . . 6 |- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) )
10		elun 3576	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
11	10	anbi2i 701	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
12	9, 11	bitri 253	. . . . 5 |- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
13	8, 12	bibi12i 317	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
14	13	albii 1693	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
15	4, 14	bitri 253	. 2 |- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
16	2, 3, 15	3bitr4i 281	1 |- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   A.wal 1444   = wceq 1446   e. wcel 1889   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-v 3049  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420

This theorem is referenced by:  rp-fakeuninass  36173