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Theorem rp-fakeinunass 36231
Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
rp-fakeinunass  |-  ( C 
C_  A  <->  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) )

Proof of Theorem rp-fakeinunass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rp-fakeanorass 36228 . . 3  |-  ( ( x  e.  C  ->  x  e.  A )  <->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
21albii 1699 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  C  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
3 dfss2 3407 . 2  |-  ( C 
C_  A  <->  A. x
( x  e.  C  ->  x  e.  A ) )
4 dfcleq 2465 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  A. x
( x  e.  ( ( A  i^i  B
)  u.  C )  <-> 
x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) ) )
5 elun 3565 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  B
)  \/  x  e.  C ) )
6 elin 3608 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
76orbi1i 529 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  B )  \/  x  e.  C )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C ) )
85, 7bitri 257 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C
) )
9 elin 3608 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B  u.  C
) ) )
10 elun 3565 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  u.  C )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  C ) )
1110anbi2i 708 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B  u.  C ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) )
129, 11bitri 257 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) )
138, 12bibi12i 322 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <->  x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C )
) )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
1413albii 1699 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  <-> 
x  e.  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) )  <->  A. x ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  B  \/  x  e.  C ) ) ) )
154, 14bitri 257 . 2  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C
) )  <->  A. x
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  \/  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  B  \/  x  e.  C )
) ) )
162, 3, 153bitr4i 285 1  |-  ( C 
C_  A  <->  ( ( A  i^i  B )  u.  C )  =  ( A  i^i  ( B  u.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-v 3033  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404
This theorem is referenced by:  rp-fakeuninass  36232
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