Theorem rp-fakeinunass 36231

Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rp-fakeinunass	|- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Proof of Theorem rp-fakeinunass

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rp-fakeanorass 36228	. . 3 |- ( ( x e. C -> x e. A ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
2	1	albii 1699	. 2 |- ( A. x ( x e. C -> x e. A ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
3		dfss2 3407	. 2 |- ( C C_ A <-> A. x ( x e. C -> x e. A ) )
4		dfcleq 2465	. . 3 |- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) )
5		elun 3565	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) )
6		elin 3608	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
7	6	orbi1i 529	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
8	5, 7	bitri 257	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
9		elin 3608	. . . . . 6 |- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) )
10		elun 3565	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
11	10	anbi2i 708	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
12	9, 11	bitri 257	. . . . 5 |- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
13	8, 12	bibi12i 322	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
14	13	albii 1699	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
15	4, 14	bitri 257	. 2 |- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
16	2, 3, 15	3bitr4i 285	1 |- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-v 3033  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404

This theorem is referenced by:  rp-fakeuninass  36232