MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem root1eq1 23707
Description: The only powers of an  N-th root of unity that equal  1 are the multiples of  N. In other words,  -u 1  ^c 
( 2  /  N
) has order  N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 10686 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
3 nndivre 10652 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 670 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
54recnd 9674 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
6 ax-icn 9603 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
7 picn 23426 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
86, 7mulcli 9653 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( _i  x.  pi )  e.  CC )
105, 9mulcld 9668 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
11 efexp 14167 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
1210, 11sylancom 674 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
13 zcn 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1413adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
15 nncn 10624 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1615adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
17 2cn 10687 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
19 nnne0 10649 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2019adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
2114, 16, 18, 20div32d 10413 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  2 )  =  ( K  x.  ( 2  /  N ) ) )
2221oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  x.  ( 2  /  N ) )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
2314, 16, 20divcld 10390 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  /  N
)  e.  CC )
2423, 18, 9mulassd 9671 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2514, 5, 9mulassd 9671 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( 2  /  N
) )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2622, 24, 253eqtr3d 2495 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2726fveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
28 neg1cn 10720 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
30 neg1ne0 10722 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
3229, 31, 5cxpefd 23669 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
33 logm1 23550 . . . . . . . 8  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
3433oveq2i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
3534fveq2i 5873 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
3632, 35syl6eq 2503 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
3736oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ^ K ) )
3812, 27, 373eqtr4rd 2498 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
3938eqeq1d 2455 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1 ) )
4017, 8mulcli 9653 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
41 mulcl 9628 . . . 4  |-  ( ( ( K  /  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  e.  CC )
4223, 40, 41sylancl 669 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC )
43 efeq1 23490 . . 3  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  1  <->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
4442, 43syl 17 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1  <->  ( (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
456, 17, 7mul12i 9833 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
4645oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
4740a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
48 2ne0 10709 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
49 ine0 10061 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
50 pire 23425 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
51 pipos 23427 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
5250, 51gt0ne0ii 10157 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
536, 7, 49, 52mulne0i 10262 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  pi )  =/=  0
5417, 8, 48, 53mulne0i 10262 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  =/=  0 )
5623, 47, 55divcan4d 10396 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5746, 56syl5eq 2499 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5857eleq1d 2515 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
59 nnz 10966 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6059adantr 467 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
61 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
62 dvdsval2 14320 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6360, 20, 61, 62syl3anc 1269 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6458, 63bitr4d 260 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  N 
||  K ) )
6539, 44, 643bitrd 283 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   _ici 9546    x. cmul 9549   -ucneg 9866    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ^cexp 12279   expce 14126   picpi 14131    || cdvds 14317   logclog 23516    ^c ccxp 23517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-dvds 14318  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  24204  dchrptlem2  24205
  Copyright terms: Public domain W3C validator