MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Unicode version

Theorem root1eq1 20592
Description: The only powers of an  N-th root of unity that equal  1 are the multiples of  N. In other words,  -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) has order  N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complexes.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
3 nndivre 9991 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
54recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
6 ax-icn 9005 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
7 pire 20325 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
87recni 9058 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
96, 8mulcli 9051 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( _i  x.  pi )  e.  CC )
115, 10mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
12 efexp 12657 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
1311, 12sylancom 649 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
14 zcn 10243 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1514adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
16 nncn 9964 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1716adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
18 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
20 nnne0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
2215, 17, 19, 21div32d 9769 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  2 )  =  ( K  x.  ( 2  /  N ) ) )
2322oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  x.  ( 2  /  N ) )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
2415, 17, 21divcld 9746 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  /  N
)  e.  CC )
2524, 19, 10mulassd 9067 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2615, 5, 10mulassd 9067 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( 2  /  N
) )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2723, 25, 263eqtr3d 2444 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2827fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
29 neg1cn 10023 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
31 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
32 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
3331, 32negne0i 9331 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =/=  0
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
3530, 34, 5cxpefd 20556 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
36 logm1 20436 . . . . . . . 8  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
3736oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
3837fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
3935, 38syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
4039oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ^ K ) )
4113, 28, 403eqtr4rd 2447 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
4241eqeq1d 2412 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1 ) )
4318, 9mulcli 9051 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
44 mulcl 9030 . . . 4  |-  ( ( ( K  /  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  e.  CC )
4524, 43, 44sylancl 644 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC )
46 efeq1 20384 . . 3  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  1  <->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
4745, 46syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1  <->  ( (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
486, 18, 8mul12i 9217 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
4948oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
5043a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
51 2ne0 10039 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
52 ine0 9425 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
53 pipos 20326 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
547, 53gt0ne0ii 9519 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
556, 8, 52, 54mulne0i 9621 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  pi )  =/=  0
5618, 9, 51, 55mulne0i 9621 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  =/=  0
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  =/=  0 )
5824, 50, 57divcan4d 9752 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5949, 58syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
6059eleq1d 2470 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
61 nnz 10259 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6261adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
63 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
64 dvdsval2 12810 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6562, 21, 63, 64syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6660, 65bitr4d 248 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  N 
||  K ) )
6742, 47, 663bitrd 271 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    x. cmul 8951   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ^cexp 11337   expce 12619   picpi 12624    || cdivides 12807   logclog 20405    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  21001  dchrptlem2  21002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
  Copyright terms: Public domain W3C validator