Theorem root1eq1 23255

Description: The only powers of an N-th root of unity that equal 1 are the multiples of N. In other words, -u 1 ^c ( 2 / N ) has order N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
root1eq1	|- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = 1 <-> N || K ) )

Proof of Theorem root1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 10626	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
2		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N e. NN )
3		nndivre 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. NN ) -> ( 2 / N ) e. RR )
4	1, 2, 3	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 / N ) e. RR )
5	4	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 / N ) e. CC )
6		ax-icn 9568	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
7		picn 22978	. . . . . . . 8 |- pi e. CC
8	6, 7	mulcli 9618	. . . . . . 7 |- ( _i x. pi ) e. CC
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( _i x. pi ) e. CC )
10	5, 9	mulcld 9633	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) e. CC )
11		efexp 13848	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ^ K ) )
12	10, 11	sylancom 667	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ^ K ) )
13		zcn 10890	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
14	13	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> K e. CC )
15		nncn 10564	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
16	15	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N e. CC )
17		2cn 10627	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> 2 e. CC )
19		nnne0 10589	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
20	19	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N =/= 0 )
21	14, 16, 18, 20	div32d 10364	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / N ) x. 2 ) = ( K x. ( 2 / N ) ) )
22	21	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. 2 ) x. ( _i x. pi ) ) = ( ( K x. ( 2 / N ) ) x. ( _i x. pi ) ) )
23	14, 16, 20	divcld 10341	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( K / N ) e. CC )
24	23, 18, 9	mulassd 9636	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. 2 ) x. ( _i x. pi ) ) = ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) )
25	14, 5, 9	mulassd 9636	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( 2 / N ) ) x. ( _i x. pi ) ) = ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) )
26	22, 24, 25	3eqtr3d 2506	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) = ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) )
27	26	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = ( exp ` ( K x. ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ) )
28		neg1cn 10660	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> -u 1 e. CC )
30		neg1ne0 10662	. . . . . . . 8 |- -u 1 =/= 0
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> -u 1 =/= 0 )
32	29, 31, 5	cxpefd 23219	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) = ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( log ` -u 1 ) ) ) )
33		logm1 23099	. . . . . . . 8 |- ( log ` -u 1 ) = ( _i x. pi )
34	33	oveq2i 6307	. . . . . . 7 |- ( ( 2 / N ) x. ( log ` -u 1 ) ) = ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) )
35	34	fveq2i 5875	. . . . . 6 |- ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( log ` -u 1 ) ) ) = ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) )
36	32, 35	syl6eq 2514	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) = ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) )
37	36	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = ( ( exp ` ( ( 2 / N ) x. ( _i x. pi ) ) ) ^ K ) )
38	12, 27, 37	3eqtr4rd 2509	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) )
39	38	eqeq1d 2459	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = 1 <-> ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = 1 ) )
40	17, 8	mulcli 9618	. . . 4 |- ( 2 x. ( _i x. pi ) ) e. CC
41		mulcl 9593	. . . 4 |- ( ( ( K / N ) e. CC /\ ( 2 x. ( _i x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) e. CC )
42	23, 40, 41	sylancl 662	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) e. CC )
43		efeq1 23042	. . 3 |- ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) e. CC -> ( ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = 1 <-> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
44	42, 43	syl 16	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( exp ` ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) ) = 1 <-> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
45	6, 17, 7	mul12i 9792	. . . . . 6 |- ( _i x. ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. ( _i x. pi ) )
46	45	oveq2i 6307	. . . . 5 |- ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( 2 x. ( _i x. pi ) ) )
47	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 x. ( _i x. pi ) ) e. CC )
48		2ne0 10649	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
49		ine0 10013	. . . . . . . . 9 |- _i =/= 0
50		pire 22977	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
51		pipos 22979	. . . . . . . . . 10 |- 0 < pi
52	50, 51	gt0ne0ii 10110	. . . . . . . . 9 |- pi =/= 0
53	6, 7, 49, 52	mulne0i 10213	. . . . . . . 8 |- ( _i x. pi ) =/= 0
54	17, 8, 48, 53	mulne0i 10213	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( _i x. pi ) ) =/= 0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( 2 x. ( _i x. pi ) ) =/= 0 )
56	23, 47, 55	divcan4d 10347	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) = ( K / N ) )
57	46, 56	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( K / N ) )
58	57	eleq1d 2526	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ <-> ( K / N ) e. ZZ ) )
59		nnz 10907	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
60	59	adantr 465	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
61		simpr 461	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
62		dvdsval2 14001	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( N || K <-> ( K / N ) e. ZZ ) )
63	60, 20, 61, 62	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( N || K <-> ( K / N ) e. ZZ ) )
64	58, 63	bitr4d 256	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( ( K / N ) x. ( 2 x. ( _i x. pi ) ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ <-> N || K ) )
65	39, 44, 64	3bitrd 279	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / N ) ) ^ K ) = 1 <-> N || K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   _ici 9511   x. cmul 9514   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ^cexp 12169   expce 13809   picpi 13814   || cdvds 13998   logclog 23068   ^c ccxp 23069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071

This theorem is referenced by:  dchrptlem1  23665  dchrptlem2  23666