MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Structured version   Unicode version

Theorem root1eq1 22852
Description: The only powers of an  N-th root of unity that equal  1 are the multiples of  N. In other words,  -u 1  ^c 
( 2  /  N
) has order  N in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 10596 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
3 nndivre 10562 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
54recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
6 ax-icn 9542 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
7 picn 22581 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
86, 7mulcli 9592 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( _i  x.  pi )  e.  CC )
105, 9mulcld 9607 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
11 efexp 13688 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
1210, 11sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ^ K
) )
13 zcn 10860 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  CC )
15 nncn 10535 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
17 2cn 10597 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
19 nnne0 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
2114, 16, 18, 20div32d 10334 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  2 )  =  ( K  x.  ( 2  /  N ) ) )
2221oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  x.  ( 2  /  N ) )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
2314, 16, 20divcld 10311 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  /  N
)  e.  CC )
2423, 18, 9mulassd 9610 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  2 )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2514, 5, 9mulassd 9610 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  ( 2  /  N
) )  x.  (
_i  x.  pi )
)  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2622, 24, 253eqtr3d 2511 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  x.  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
2726fveq2d 5863 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( exp `  ( K  x.  ( (
2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
28 neg1cn 10630 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
30 neg1ne0 10632 . . . . . . . 8  |-  -u 1  =/=  0
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
3229, 31, 5cxpefd 22816 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
33 logm1 22696 . . . . . . . 8  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
3433oveq2i 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
3534fveq2i 5862 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
3632, 35syl6eq 2519 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =  ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
3736oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( ( exp `  (
( 2  /  N
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ^ K ) )
3812, 27, 373eqtr4rd 2514 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
3938eqeq1d 2464 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1 ) )
4017, 8mulcli 9592 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC
41 mulcl 9567 . . . 4  |-  ( ( ( K  /  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )  ->  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  e.  CC )
4223, 40, 41sylancl 662 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC )
43 efeq1 22644 . . 3  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  e.  CC  ->  ( ( exp `  ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  1  <->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
4442, 43syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  1  <->  ( (
( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
456, 17, 7mul12i 9765 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
4645oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( ( ( K  /  N
)  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( K  /  N )  x.  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  /  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
4740a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
48 2ne0 10619 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
49 ine0 9983 . . . . . . . . 9  |-  _i  =/=  0
50 pire 22580 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
51 pipos 22582 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
5250, 51gt0ne0ii 10080 . . . . . . . . 9  |-  pi  =/=  0
536, 7, 49, 52mulne0i 10183 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  pi )  =/=  0
5417, 8, 48, 53mulne0i 10183 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  =/=  0
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  =/=  0 )
5623, 47, 55divcan4d 10317 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5746, 56syl5eq 2515 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
) )  /  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( K  /  N ) )
5857eleq1d 2531 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
59 nnz 10877 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6059adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
61 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
62 dvdsval2 13841 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6360, 20, 61, 62syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  K  <->  ( K  /  N )  e.  ZZ ) )
6458, 63bitr4d 256 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( K  /  N )  x.  ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  N 
||  K ) )
6539, 44, 643bitrd 279 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =  1  <->  N  ||  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   _ici 9485    x. cmul 9488   -ucneg 9797    / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   ZZcz 10855   ^cexp 12124   expce 13650   picpi 13655    || cdivides 13838   logclog 22665    ^c ccxp 22666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-dvds 13839  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667  df-cxp 22668
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  23262  dchrptlem2  23263
  Copyright terms: Public domain W3C validator