MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1cj Structured version   Unicode version

Theorem root1cj 22322
Description: Within the  N-th roots of unity, the conjugate of the  K-th root is the  N  -  K-th root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
root1cj  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
( N  -  K
) ) )

Proof of Theorem root1cj
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10531 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
2 2re 10497 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
4 nndivre 10463 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
65recnd 9518 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
7 cxpcl 22247 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
81, 6, 7sylancr 663 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
91a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
10 neg1ne0 10533 . . . . 5  |-  -u 1  =/=  0
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
129, 11, 6cxpne0d 22286 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
13 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
14 nnz 10774 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1514adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
168, 12, 13, 15expsubd 12131 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  -  K ) )  =  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  /  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) ) )
17 root1id 22320 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
1817adantr 465 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  =  1 )
1918oveq1d 6210 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  /  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  =  ( 1  /  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) ) )
208, 12, 13expclzd 12125 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  e.  CC )
218, 12, 13expne0d 12126 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =/=  0 )
22 recval 12923 . . . 4  |-  ( ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  e.  CC  /\  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  =  ( ( * `
 ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  ( ( abs `  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 ) ) )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1  /  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  /  (
( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 ) ) )
24 absexpz 12907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ) ^ K
) )
258, 12, 13, 24syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ) ^ K
) )
26 abscxp2 22266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  RR )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  -u 1
)  ^c  ( 2  /  N ) ) )
271, 5, 26sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  -u 1
)  ^c  ( 2  /  N ) ) )
28 ax-1cn 9446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2928absnegi 13000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
30 abs1 12899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  1 )  =  1
3129, 30eqtri 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
3231oveq1i 6205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  -u 1
)  ^c  ( 2  /  N ) )  =  ( 1  ^c  ( 2  /  N ) )
3327, 32syl6eq 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  ( 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )
3461cxpd 22280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1  ^c 
( 2  /  N
) )  =  1 )
3533, 34eqtrd 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  1 )
3635oveq1d 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ) ^ K
)  =  ( 1 ^ K ) )
37 1exp 12005 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ K )  =  1 )
3837adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1 ^ K
)  =  1 )
3925, 36, 383eqtrd 2497 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  1 )
4039oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
41 sq1 12072 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4240, 41syl6eq 2509 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 )  =  1 )
4342oveq2d 6211 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( * `  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  ( ( abs `  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  1 ) )
4420cjcld 12798 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  e.  CC )
4544div1d 10205 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( * `  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  1 )  =  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) )
4623, 43, 453eqtrd 2497 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1  /  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( * `  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) )
4716, 19, 463eqtrrd 2498 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
( N  -  K
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    - cmin 9701   -ucneg 9702    / cdiv 10099   NNcn 10428   2c2 10477   ZZcz 10752   ^cexp 11977   *ccj 12698   abscabs 12836    ^c ccxp 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-cxp 22137
This theorem is referenced by:  1cubrlem  22364
  Copyright terms: Public domain W3C validator