MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1cj Structured version   Unicode version

Theorem root1cj 23426
Description: Within the  N-th roots of unity, the conjugate of the  K-th root is the  N  -  K-th root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
root1cj  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
( N  -  K
) ) )

Proof of Theorem root1cj
StepHypRef Expression
1 neg1cn 10680 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
2 2re 10646 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
4 nndivre 10612 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
65recnd 9652 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  /  N
)  e.  CC )
7 cxpcl 23349 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
81, 6, 7sylancr 661 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
91a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  CC )
10 neg1ne0 10682 . . . . 5  |-  -u 1  =/=  0
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> 
-u 1  =/=  0
)
129, 11, 6cxpne0d 23388 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
13 simpr 459 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
14 nnz 10927 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1514adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
168, 12, 13, 15expsubd 12365 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  -  K ) )  =  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  /  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) ) )
17 root1id 23424 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
1817adantr 463 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  =  1 )
1918oveq1d 6293 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  /  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  =  ( 1  /  ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) ) )
208, 12, 13expclzd 12359 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  e.  CC )
218, 12, 13expne0d 12360 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  =/=  0 )
22 recval 13304 . . . 4  |-  ( ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K )  e.  CC  /\  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  =  ( ( * `
 ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  ( ( abs `  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 ) ) )
2320, 21, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1  /  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  /  (
( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 ) ) )
24 absexpz 13287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) )  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ) ^ K
) )
258, 12, 13, 24syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ) ^ K
) )
26 abscxp2 23368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  RR )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  -u 1
)  ^c  ( 2  /  N ) ) )
271, 5, 26sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  ( ( abs `  -u 1
)  ^c  ( 2  /  N ) ) )
28 ax-1cn 9580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2928absnegi 13381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
30 abs1 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  1 )  =  1
3129, 30eqtri 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
3231oveq1i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  -u 1
)  ^c  ( 2  /  N ) )  =  ( 1  ^c  ( 2  /  N ) )
3327, 32syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  ( 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )
3461cxpd 23382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1  ^c 
( 2  /  N
) )  =  1 )
3533, 34eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) )  =  1 )
3635oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ) ^ K
)  =  ( 1 ^ K ) )
37 1exp 12239 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
1 ^ K )  =  1 )
3837adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1 ^ K
)  =  1 )
3925, 36, 383eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  1 )
4039oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
41 sq1 12307 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4240, 41syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) ^ 2 )  =  1 )
4342oveq2d 6294 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( * `  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  ( ( abs `  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( ( -u
1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  1 ) )
4420cjcld 13178 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  e.  CC )
4544div1d 10353 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( * `  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^ K ) )  /  1 )  =  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) )
4623, 43, 453eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 1  /  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( * `  ( (
-u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) ) )
4716, 19, 463eqtrrd 2448 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( * `  (
( -u 1  ^c 
( 2  /  N
) ) ^ K
) )  =  ( ( -u 1  ^c  ( 2  /  N ) ) ^
( N  -  K
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   NNcn 10576   2c2 10626   ZZcz 10905   ^cexp 12210   *ccj 13078   abscabs 13216    ^c ccxp 23235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-cxp 23237
This theorem is referenced by:  1cubrlem  23497
  Copyright terms: Public domain W3C validator