MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rollelem Structured version   Unicode version

Theorem rollelem 21461
Description: Lemma for rolle 21462. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
rolle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
rolle.n  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
Assertion
Ref Expression
rollelem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, x, y    x, B, y    x, F, y   
x, U, y

Proof of Theorem rollelem
StepHypRef Expression
1 rolle.n . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
2 rolle.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
3 rolle.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9433 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5 rolle.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9433 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 rolle.lt . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <  B )
83, 5, 7ltled 9522 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
9 prunioo 11414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
112, 10eleqtrrd 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
12 elun 3497 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( U  e.  ( A (,) B
)  \/  U  e. 
{ A ,  B } ) )
1311, 12sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( A (,) B )  \/  U  e.  { A ,  B }
) )
1413ord 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  U  e.  ( A (,) B
)  ->  U  e.  { A ,  B }
) )
151, 14mt3d 125 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
16 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
17 cncff 20469 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
19 iccssre 11377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
203, 5, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
21 ioossicc 11381 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
23 rolle.d . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
2415, 23eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
25 rolle.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
26 ssralv 3416 . . . 4  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( A [,] B )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2722, 25, 26sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
2818, 20, 15, 22, 24, 27dvferm 21460 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
29 fveq2 5691 . . . 4  |-  ( x  =  U  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
3029eqeq1d 2451 . . 3  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  U )  =  0 ) )
3130rspcev 3073 . 2  |-  ( ( U  e.  ( A (,) B )  /\  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
3215, 28, 31syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    u. cun 3326    C_ wss 3328   {cpr 3879   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   (,)cioo 11300   [,]cicc 11303   -cn->ccncf 20452    _D cdv 21338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-lp 18740  df-perf 18741  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-haus 18919  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-xms 19895  df-ms 19896  df-cncf 20454  df-limc 21341  df-dv 21342
This theorem is referenced by:  rolle  21462
  Copyright terms: Public domain W3C validator