MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rollelem Unicode version

Theorem rollelem 19826
Description: Lemma for rolle 19827. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
rolle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
rolle.n  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
Assertion
Ref Expression
rollelem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, x, y    x, B, y    x, F, y   
x, U, y

Proof of Theorem rollelem
StepHypRef Expression
1 rolle.n . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
2 rolle.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
3 rolle.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9090 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5 rolle.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9090 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 rolle.lt . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <  B )
83, 5, 7ltled 9177 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
9 prunioo 10981 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
112, 10eleqtrrd 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
12 elun 3448 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( U  e.  ( A (,) B
)  \/  U  e. 
{ A ,  B } ) )
1311, 12sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( A (,) B )  \/  U  e.  { A ,  B }
) )
1413ord 367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  U  e.  ( A (,) B
)  ->  U  e.  { A ,  B }
) )
151, 14mt3d 119 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
16 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
17 cncff 18876 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
19 iccssre 10948 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
203, 5, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
21 ioossicc 10952 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
23 rolle.d . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
2415, 23eleqtrrd 2481 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
25 rolle.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
26 ssralv 3367 . . . 4  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( A [,] B )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2722, 25, 26sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
2818, 20, 15, 22, 24, 27dvferm 19825 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
29 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( x  =  U  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
3029eqeq1d 2412 . . 3  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  U )  =  0 ) )
3130rspcev 3012 . 2  |-  ( ( U  e.  ( A (,) B )  /\  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
3215, 28, 31syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  rolle  19827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
  Copyright terms: Public domain W3C validator