MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rollelem Structured version   Unicode version

Theorem rollelem 22153
Description: Lemma for rolle 22154. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.r  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
rolle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
rolle.n  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
Assertion
Ref Expression
rollelem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, x, y    x, B, y    x, F, y   
x, U, y

Proof of Theorem rollelem
StepHypRef Expression
1 rolle.n . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  e.  { A ,  B }
)
2 rolle.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A [,] B ) )
3 rolle.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5 rolle.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
7 rolle.lt . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <  B )
83, 5, 7ltled 9732 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
9 prunioo 11649 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B }
)  =  ( A [,] B ) )
112, 10eleqtrrd 2558 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( ( A (,) B )  u.  { A ,  B } ) )
12 elun 3645 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  <->  ( U  e.  ( A (,) B
)  \/  U  e. 
{ A ,  B } ) )
1311, 12sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( A (,) B )  \/  U  e.  { A ,  B }
) )
1413ord 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  U  e.  ( A (,) B
)  ->  U  e.  { A ,  B }
) )
151, 14mt3d 125 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  ( A (,) B ) )
16 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
17 cncff 21160 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
19 iccssre 11606 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
203, 5, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
21 ioossicc 11610 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
23 rolle.d . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
2415, 23eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  dom  ( RR  _D  F ) )
25 rolle.r . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
26 ssralv 3564 . . . 4  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  ( A [,] B )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  <_  ( F `  U )  ->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( F `  y )  <_  ( F `  U )
) )
2722, 25, 26sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  U ) )
2818, 20, 15, 22, 24, 27dvferm 22152 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )
29 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  U  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  U ) )
3029eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  U )  =  0 ) )
3130rspcev 3214 . 2  |-  ( ( U  e.  ( A (,) B )  /\  ( ( RR  _D  F ) `  U
)  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
3215, 28, 31syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    u. cun 3474    C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   (,)cioo 11529   [,]cicc 11532   -cn->ccncf 21143    _D cdv 22030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034
This theorem is referenced by:  rolle  22154
  Copyright terms: Public domain W3C validator