Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rolle Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rolle 23021
 Description: Rolle's theorem. If is a real continuous function on which is differentiable on , and , then there is some such that . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a
rolle.b
rolle.lt
rolle.f
rolle.d
rolle.e
Assertion
Ref Expression
rolle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem rolle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rolle.a . . . 4
2 rolle.b . . . 4
3 rolle.lt . . . . 5
41, 2, 3ltled 9800 . . . 4
5 rolle.f . . . 4
61, 2, 4, 5evthicc 22488 . . 3
7 reeanv 2944 . . 3
86, 7sylibr 217 . 2
9 r19.26 2904 . . . 4
101ad2antrr 740 . . . . . . . 8
112ad2antrr 740 . . . . . . . 8
123ad2antrr 740 . . . . . . . 8
135ad2antrr 740 . . . . . . . 8
14 rolle.d . . . . . . . . 9
1514ad2antrr 740 . . . . . . . 8
16 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
1716ralimi 2796 . . . . . . . . . 10
18 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
1918breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
2019cbvralv 3005 . . . . . . . . . 10
2117, 20sylib 201 . . . . . . . . 9
2221ad2antrl 742 . . . . . . . 8
23 simplrl 778 . . . . . . . 8
24 simprr 774 . . . . . . . 8
2510, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24rollelem 23020 . . . . . . 7
2625expr 626 . . . . . 6
271ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
282ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
293ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
30 cncff 22003 . . . . . . . . . . . . . . 15
315, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
3231ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13
3332renegcld 10067 . . . . . . . . . . . 12
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11
36 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12
37 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 cncfss 22009 . . . . . . . . . . . . . . 15
3936, 37, 38mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14
4039, 5sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
4134negfcncf 22029 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12
43 cncffvrn 22008 . . . . . . . . . . . 12
4436, 42, 43sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
4535, 44mpbird 240 . . . . . . . . . 10
4645ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
48 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . . . 15
491, 2, 48syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
50 fss 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5131, 36, 50sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . 14
54 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
5554tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
56 iccntr 21917 . . . . . . . . . . . . . . 15
571, 2, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
5847, 49, 53, 55, 54, 57dvmptntr 23004 . . . . . . . . . . . . 13
59 reelprrecn 9649 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
61 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362, 52sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14
64 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
6631feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 dvf 22941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6914feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7068, 69mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15
7247, 49, 52, 55, 54, 57dvmptntr 23004 . . . . . . . . . . . . . . 15
7367, 71, 723eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
7460, 63, 65, 73dvmptneg 22999 . . . . . . . . . . . . 13
7558, 74eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
7675dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11
77 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . 12
78 negex 9893 . . . . . . . . . . . . 13
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8077, 79mprg 2770 . . . . . . . . . . 11
8176, 80syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
8281ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
83 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
8431ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8684, 85ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8731adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8986, 88lenegd 10213 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
92 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9391, 34, 92fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9896, 34, 97fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9985, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10094, 99breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15
10189, 100bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . 14
10283, 101syl5ib 227 . . . . . . . . . . . . 13
103102ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . 12
104103imp 436 . . . . . . . . . . 11
105 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
106105breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12
107106cbvralv 3005 . . . . . . . . . . 11
108104, 107sylib 201 . . . . . . . . . 10
109108adantrr 731 . . . . . . . . 9
110 simplrr 779 . . . . . . . . 9
111 simprr 774 . . . . . . . . 9
11227, 28, 29, 46, 82, 109, 110, 111rollelem 23020 . . . . . . . 8
11375fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13
114 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . 14
116 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
117 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . 14
118115, 116, 117fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . 13
119113, 118sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . 12
120119eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11
12114eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14
122121biimpar 493 . . . . . . . . . . . . 13
12368ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . 13
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . 12
125124negeq0d 9997 . . . . . . . . . . 11
126120, 125bitr4d 264 . . . . . . . . . 10
127126rexbidva 2889 . . . . . . . . 9
128127ad2antrr 740 . . . . . . . 8
129112, 128mpbid 215 . . . . . . 7
130129expr 626 . . . . . 6
131 vex 3034 . . . . . . . . . . 11
132131elpr 3977 . . . . . . . . . 10
133 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11
135 rolle.e . . . . . . . . . . . . 13
136135eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
137 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
138137eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12
139136, 138syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11
140134, 139jaod 387 . . . . . . . . . 10
141132, 140syl5bi 225 . . . . . . . . 9
142 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
14395eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . 12
144142, 143imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
145144imbi2d 323 . . . . . . . . . 10
146145, 141chvarv 2120 . . . . . . . . 9
147141, 146anim12d 572 . . . . . . . 8
148147ad2antrr 740 . . . . . . 7
1491rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1502rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151 lbicc2 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152149, 150, 4, 151syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15331, 152ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15
154153ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
15588, 154letri3d 9794 . . . . . . . . . . . . 13
156 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15
157 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15
158156, 157bi2anan9 890 . . . . . . . . . . . . . 14
159158bibi2d 325 . . . . . . . . . . . . 13
160155, 159syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12
161160impancom 447 . . . . . . . . . . 11
162161imp 436 . . . . . . . . . 10
163162ralbidva 2828 . . . . . . . . 9
164 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . 14
16531, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
166 fnconstg 5784 . . . . . . . . . . . . . 14
167153, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
168 eqfnfv 5991 . . . . . . . . . . . . 13
169165, 167, 168syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
170 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
171170fvconst2 6136 . . . . . . . . . . . . . 14
172171eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13
173172ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . 12
174169, 173syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11
175 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
176175eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
177176biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178177oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
179153recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
180179adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
181 0cnd 9654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18260, 179dvmptc 22991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18360, 180, 181, 182, 49, 55, 54, 57dvmptres2 22995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184178, 183sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185184fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
186 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
189186, 187, 188fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
190185, 189sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . 14
191190ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13
192 ioon0 11687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193149, 150, 192syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
1943, 193mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
195 r19.2z 3849 . . . . . . . . . . . . . 14
196194, 195sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13
197191, 196syldan 478 . . . . . . . . . . . 12
198197ex 441 . . . . . . . . . . 11
199174, 198sylbird 243 . . . . . . . . . 10
200199ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
201163, 200sylbird 243 . . . . . . . 8
202201impancom 447 . . . . . . 7
203148, 202syld 44 . . . . . 6
20426, 130, 203ecased 959 . . . . 5
205204ex 441 . . . 4
2069, 205syl5bir 226 . . 3
207206rexlimdvva 2878 . 2
2088, 207mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cneg 9881  cioo 11660  cicc 11663  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  cnt 20109  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  cmvth  23022  lhop1lem  23044
 Copyright terms: Public domain W3C validator