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Theorem rolle 19827
Description: Rolle's theorem. If  F is a real continuous function on  [ A ,  B ] which is differentiable on  ( A ,  B
), and  F ( A )  =  F ( B ), then there is some  x  e.  ( A ,  B ) such that  ( RR  _D  F ) `  x  =  0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( F `
 B ) )
Assertion
Ref Expression
rolle  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, B    x, F

Proof of Theorem rolle
Dummy variables  u  t  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rolle.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rolle.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 rolle.lt . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  B )
41, 2, 3ltled 9177 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
61, 2, 4, 5evthicc 19309 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  E. v  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
7 reeanv 2835 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( A [,] B ) E. v  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 v )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( E. u  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  E. v  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
86, 7sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( A [,] B ) E. v  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
9 r19.26 2798 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  <->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )
101ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  RR )
112ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  B  e.  RR )
123ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  <  B )
135ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
14 rolle.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
16 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  u
) )
1716ralimi 2741 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )
)
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
1918breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  <->  ( F `  t )  <_  ( F `  u )
) )
2019cbvralv 2892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( F `  t
)  <_  ( F `  u ) )
2117, 20sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B
) ( F `  t )  <_  ( F `  u )
)
2221ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( F `  t )  <_  ( F `  u ) )
23 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  u  e.  ( A [,] B ) )
24 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  -.  u  e.  { A ,  B } )
2510, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24rollelem 19826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
2625expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  ( -.  u  e.  { A ,  B }  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
271ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  RR )
282ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  B  e.  RR )
293ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  <  B )
30 cncff 18876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
315, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
3231ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  RR )
3332renegcld 9420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 u )  e.  RR )
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
)  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
)
3533, 34fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
36 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
37 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
38 cncfss 18882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC ) )
3936, 37, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A [,] B )
-cn-> RR )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC )
4039, 5sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
4134negfcncf 18902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
43 cncffvrn 18881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  <-> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR ) )
4436, 42, 43sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  <-> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR ) )
4535, 44mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
48 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
491, 2, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
50 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
5131, 36, 50sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
5251ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5352negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 u )  e.  CC )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5554tgioo2 18787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
56 iccntr 18805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
571, 2, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
5847, 49, 53, 55, 54, 57dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( F `  u )
) ) )
59 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
6059prid1 3872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
62 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
6362sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  ( A [,] B
) )
6463, 52sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  _D  F ) `
 u )  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  u )  e.  _V )
6731feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 u ) ) )
6867oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  u ) ) ) )
69 dvf 19747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
7014feq2d 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
7169, 70mpbii 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
7271feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 u ) ) )
7347, 49, 52, 55, 54, 57dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  u ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 u ) ) ) )
7468, 72, 733eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  u )
) )
7561, 64, 66, 74dvmptneg 19805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
7658, 75eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
7776dmeqd 5031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  dom  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
78 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  ( A (,) B ) -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V  ->  dom  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)  =  ( A (,) B ) )
79 negex 9260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V )
8178, 80mprg 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) )  =  ( A (,) B )
8277, 81syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( A (,) B ) )
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( A (,) B ) )
84 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )
8531ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
86 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  v  e.  ( A [,] B ) )
8785, 86ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  v )  e.  RR )
8831adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
8988ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
9087, 89lenegd 9561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  v )  <_  ( F `  y
)  <->  -u ( F `  y )  <_  -u ( F `  v )
) )
91 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
9291negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  y  ->  -u ( F `  u )  =  -u ( F `  y ) )
93 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
9492, 34, 93fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
96 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  v  ->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) )
9796negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  v  ->  -u ( F `  u )  =  -u ( F `  v ) )
98 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u ( F `  v )  e.  _V
9997, 34, 98fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( A [,] B )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  =  -u ( F `  v ) )
10086, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  v )  =  -u ( F `  v ) )
10195, 100breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  v
) ) )
10290, 101bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  v )  <_  ( F `  y
)  <->  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
10384, 102syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
104103ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
105104imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
106 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t ) )
107106breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  <->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  v )
) )
108107cbvralv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  v )  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
109105, 108sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  t )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
110109adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
111 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
v  e.  ( A [,] B ) )
112 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  -.  v  e.  { A ,  B } )
11327, 28, 29, 46, 83, 110, 111, 112rollelem 19826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0 )
11476fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  ( ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) `  x
) )
115 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  u )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
116115negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  =  -u ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
117 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)
118 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( RR  _D  F
) `  x )  e.  _V
119116, 117, 118fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u ( ( RR 
_D  F ) `  u ) ) `  x )  =  -u ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
120114, 119sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  = 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
121120eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0  <->  -u (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
12214eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( RR  _D  F
)  <->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
123122biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )
12469ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  ( RR 
_D  F )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  e.  CC )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
126125negeq0d 9359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0  <->  -u ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  0 ) )
127121, 126bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
128127rexbidva 2683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  =  0  <->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
129128ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
( E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  =  0  <->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
130113, 129mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
131130expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  ( -.  v  e.  { A ,  B }  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
132 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e. 
_V
133132elpr 3792 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  { A ,  B }  <->  ( u  =  A  \/  u  =  B ) )
134 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  =  A  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
136 rolle.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( F `
 B ) )
137136eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( F `
 A ) )
138 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  B  ->  ( F `  u )  =  ( F `  B ) )
139138eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  B  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  <->  ( F `  B )  =  ( F `  A ) ) )
140137, 139syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  =  B  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
141135, 140jaod 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( u  =  A  \/  u  =  B )  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
142133, 141syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  u
)  =  ( F `
 A ) ) )
143 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  { A ,  B }  <->  v  e.  { A ,  B }
) )
14496eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  <->  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )
145143, 144imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  u
)  =  ( F `
 A ) )  <-> 
( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) ) )
146145imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `
 u )  =  ( F `  A
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) ) ) )
147146, 142chvarv 2063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) )
148142, 147anim12d 547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B }
)  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) ) )
149148ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B } )  -> 
( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) ) )
1501rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1512rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
152 lbicc2 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
153150, 151, 4, 152syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
15431, 153ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
155154ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
15689, 155letri3d 9171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) )
157 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  u )  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  A )
) )
158 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  v )  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  v
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) )
159157, 158bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) )
160159bibi2d 310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  =  ( F `  A
)  <->  ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  <->  ( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) ) )
161156, 160syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <-> 
( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) ) ) )
162161impancom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <-> 
( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) ) ) )
163162imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) ) )
164163ralbidva 2682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) ) )
165 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( A [,] B ) --> RR  ->  F  Fn  ( A [,] B ) )
16631, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A [,] B ) )
167 fnconstg 5590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  A )  e.  RR  ->  (
( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  Fn  ( A [,] B ) )
168154, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } )  Fn  ( A [,] B
) )
169 eqfnfv 5786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  ( A [,] B )  /\  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } )  Fn  ( A [,] B
) )  ->  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  { ( F `
 A ) } ) `  y ) ) )
170166, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) `  y ) ) )
171 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
172171fvconst2 5906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) `  y )  =  ( F `  A ) )
173172eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F `  y
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } ) `  y
)  <->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) ) )
174173ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  =  ( ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } ) `
 y )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
175170, 174syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A ) ) )
176 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A [,] B )  X.  { ( F `
 A ) } )  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) )
177176eqeq2i 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  <-> 
F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) ) )
178177biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  ->  F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  A ) ) )
179178oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  ->  ( RR  _D  F )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) ) ) )
180154recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
181180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  RR )  ->  ( F `
 A )  e.  CC )
182 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
18461, 180dvmptc 19797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  RR  |->  ( F `  A ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  0 ) )
18561, 181, 183, 184, 49, 55, 54, 57dvmptres2 19801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  A ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
186179, 185sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  ( RR  _D  F )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
187186fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 ) `  x
) )
188 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  0  =  0 )
189 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 )  =  ( u  e.  ( A (,) B
)  |->  0 )
190 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
191188, 189, 190fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 ) `  x
)  =  0 )
192187, 191sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } ) )  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
193192ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
194 ioon0 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =/=  (/)  <->  A  <  B ) )
195150, 151, 194syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  A  <  B ) )
1963, 195mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =/=  (/) )
197 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
198196, 197sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
199193, 198syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
200199ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
201175, 200sylbird 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
202201ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( F `  A )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
203164, 202sylbird 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
204203impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
205149, 204syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B } )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
20626, 131, 205ecased 911 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
207206ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
2089, 207syl5bir 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
209208rexlimdvva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( A [,] B
) E. v  e.  ( A [,] B
) ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
2108, 209mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  cmvth  19828  lhop1lem  19850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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