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Theorem rolle 22257
Description: Rolle's theorem. If  F is a real continuous function on  [ A ,  B ] which is differentiable on  ( A ,  B
), and  F ( A )  =  F ( B ), then there is some  x  e.  ( A ,  B ) such that  ( RR  _D  F ) `  x  =  0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rolle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
rolle.lt  |-  ( ph  ->  A  <  B )
rolle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
rolle.d  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
rolle.e  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( F `
 B ) )
Assertion
Ref Expression
rolle  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, B    x, F

Proof of Theorem rolle
Dummy variables  u  t  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rolle.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rolle.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 rolle.lt . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <  B )
41, 2, 3ltled 9731 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 rolle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
61, 2, 4, 5evthicc 21737 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  E. v  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
7 reeanv 3009 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( A [,] B ) E. v  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 v )  <_ 
( F `  y
) )  <->  ( E. u  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  E. v  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
86, 7sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( A [,] B ) E. v  e.  ( A [,] B ) ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) )
9 r19.26 2968 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  <->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )
101ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  RR )
112ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  B  e.  RR )
123ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  <  B )
135ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
14 rolle.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  dom  ( RR  _D  F
)  =  ( A (,) B ) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  ( F `  y )  <_  ( F `  u
) )
1716ralimi 2834 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )
)
18 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
1918breq1d 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  <->  ( F `  t )  <_  ( F `  u )
) )
2019cbvralv 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( F `  t
)  <_  ( F `  u ) )
2117, 20sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B
) ( F `  t )  <_  ( F `  u )
)
2221ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( F `  t )  <_  ( F `  u ) )
23 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  u  e.  ( A [,] B ) )
24 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  -.  u  e.  { A ,  B } )
2510, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24rollelem 22256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  u  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
2625expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  ( -.  u  e.  { A ,  B }  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
271ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  e.  RR )
282ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  B  e.  RR )
293ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A  <  B )
30 cncff 21263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
315, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
3231ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  RR )
3332renegcld 9987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 u )  e.  RR )
34 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
)  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
)
3533, 34fmptd 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR )
36 ax-resscn 9547 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
37 ssid 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
38 cncfss 21269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC ) )
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A [,] B )
-cn-> RR )  C_  (
( A [,] B
) -cn-> CC )
4039, 5sseldi 3484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
4134negfcncf 21289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
43 cncffvrn 21268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  <-> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR ) )
4436, 42, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  <-> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) : ( A [,] B
) --> RR ) )
4535, 44mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
48 iccssre 11610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
491, 2, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
50 fss 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> RR 
/\  RR  C_  CC )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
5131, 36, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
5251ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
5352negcld 9918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  -u ( F `
 u )  e.  CC )
54 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5554tgioo2 21174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
56 iccntr 21192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
571, 2, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
5847, 49, 53, 55, 54, 57dvmptntr 22240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( F `  u )
) ) )
59 reelprrecn 9582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
61 ioossicc 11614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
6261sseli 3482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  ( A [,] B
) )
6362, 52sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
64 fvex 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( RR  _D  F ) `
 u )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  u )  e.  _V )
6631feqmptd 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 u ) ) )
6766oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  ( F `  u ) ) ) )
68 dvf 22177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
6914feq2d 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
7068, 69mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
7170feqmptd 5907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
)  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F ) `
 u ) ) )
7247, 49, 52, 55, 54, 57dvmptntr 22240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  u ) ) )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 u ) ) ) )
7367, 71, 723eqtr3rd 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  F
) `  u )
) )
7460, 63, 65, 73dvmptneg 22235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
7558, 74eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
7675dmeqd 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  dom  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) )
77 dmmptg 5490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  ( A (,) B ) -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V  ->  dom  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)  =  ( A (,) B ) )
78 negex 9818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  e.  _V )
8077, 79mprg 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) )  =  ( A (,) B )
8176, 80syl6eq 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( A (,) B ) )
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  dom  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) )  =  ( A (,) B ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )
8431ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> RR )
85 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  v  e.  ( A [,] B ) )
8684, 85ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  v )  e.  RR )
8731adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  F : ( A [,] B ) --> RR )
8887ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
8986, 88lenegd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  v )  <_  ( F `  y
)  <->  -u ( F `  y )  <_  -u ( F `  v )
) )
90 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
9190negeqd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  y  ->  -u ( F `  u )  =  -u ( F `  y ) )
92 negex 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
9391, 34, 92fvmpt 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
95 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  v  ->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) )
9695negeqd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  v  ->  -u ( F `  u )  =  -u ( F `  v ) )
97 negex 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u ( F `  v )  e.  _V
9896, 34, 97fvmpt 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( A [,] B )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  =  -u ( F `  v ) )
9985, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  v )  =  -u ( F `  v ) )
10094, 99breq12d 4446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  v
) ) )
10189, 100bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  v )  <_  ( F `  y
)  <->  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
10283, 101syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
103102ralimdva 2849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
105 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  y )  =  ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t ) )
106105breq1d 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v )  <->  ( (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  v )
) )
107106cbvralv 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) `  y )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  v )  <->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
108104, 107sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B
) ( ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u )
) `  t )  <_  ( ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
109108adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( ( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  t )  <_  (
( u  e.  ( A [,] B ) 
|->  -u ( F `  u ) ) `  v ) )
110 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
v  e.  ( A [,] B ) )
111 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  -.  v  e.  { A ,  B } )
11227, 28, 29, 46, 82, 109, 110, 111rollelem 22256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0 )
11375fveq1d 5854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  ( ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u ( ( RR  _D  F ) `  u
) ) `  x
) )
114 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  (
( RR  _D  F
) `  u )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
115114negeqd 9814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )  =  -u ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
116 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  -u (
( RR  _D  F
) `  u )
)
117 negex 9818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( RR  _D  F
) `  x )  e.  _V
118115, 116, 117fvmpt 5937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  -u ( ( RR 
_D  F ) `  u ) ) `  x )  =  -u ( ( RR  _D  F ) `  x
) )
119113, 118sylan9eq 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  = 
-u ( ( RR 
_D  F ) `  x ) )
120119eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0  <->  -u (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
12114eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  ( RR  _D  F
)  <->  x  e.  ( A (,) B ) ) )
122121biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  dom  ( RR  _D  F
) )
12368ffvelrni 6011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  ( RR 
_D  F )  -> 
( ( RR  _D  F ) `  x
)  e.  CC )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  x )  e.  CC )
125124negeq0d 9923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0  <->  -u ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  0 ) )
126120, 125bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  -u ( F `  u ) ) ) `  x
)  =  0  <->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
127126rexbidva 2949 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  =  0  <->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
128127ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  -> 
( E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( u  e.  ( A [,] B
)  |->  -u ( F `  u ) ) ) `
 x )  =  0  <->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
129112, 128mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  /\  -.  v  e.  { A ,  B } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
130129expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  ( -.  v  e.  { A ,  B }  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
131 vex 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e. 
_V
132131elpr 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  { A ,  B }  <->  ( u  =  A  \/  u  =  B ) )
133 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  A  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) )
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  =  A  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
135 rolle.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( F `
 B ) )
136135eqcomd 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( F `
 A ) )
137 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  B  ->  ( F `  u )  =  ( F `  B ) )
138137eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  B  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  <->  ( F `  B )  =  ( F `  A ) ) )
139136, 138syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( u  =  B  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
140134, 139jaod 380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( u  =  A  \/  u  =  B )  ->  ( F `  u )  =  ( F `  A ) ) )
141132, 140syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  u
)  =  ( F `
 A ) ) )
142 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  (
u  e.  { A ,  B }  <->  v  e.  { A ,  B }
) )
14395eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  <->  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )
144142, 143imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  u
)  =  ( F `
 A ) )  <-> 
( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) ) )
145144imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  v  ->  (
( ph  ->  ( u  e.  { A ,  B }  ->  ( F `
 u )  =  ( F `  A
) ) )  <->  ( ph  ->  ( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) ) ) )
146145, 141chvarv 1998 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { A ,  B }  ->  ( F `  v
)  =  ( F `
 A ) ) )
147141, 146anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
{ A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B }
)  ->  ( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) ) )
148147ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B } )  -> 
( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) ) )
1491rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1502rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
151 lbicc2 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
152149, 150, 4, 151syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
15331, 152ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  RR )
154153ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  A )  e.  RR )
15588, 154letri3d 9725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) )
156 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  u )  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  u )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  A )
) )
157 breq1 4436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  v )  =  ( F `  A )  ->  (
( F `  v
)  <_  ( F `  y )  <->  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) )
158156, 157bi2anan9 871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
)  <->  ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) )
159158bibi2d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  =  ( F `  A
)  <->  ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  <->  ( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  A
)  /\  ( F `  A )  <_  ( F `  y )
) ) ) )
160155, 159syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
( F `  u
)  =  ( F `
 A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <-> 
( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) ) ) )
161160impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  A )  <-> 
( ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) ) ) ) )
162161imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 A )  <->  ( ( F `  y )  <_  ( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) ) )
163162ralbidva 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( F `  A )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) ) )
164 ffn 5717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( A [,] B ) --> RR  ->  F  Fn  ( A [,] B ) )
16531, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A [,] B ) )
166 fnconstg 5759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  A )  e.  RR  ->  (
( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  Fn  ( A [,] B ) )
167153, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } )  Fn  ( A [,] B
) )
168 eqfnfv 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  ( A [,] B )  /\  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } )  Fn  ( A [,] B
) )  ->  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  { ( F `
 A ) } ) `  y ) ) )
169165, 167, 168syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) `  y ) ) )
170 fvex 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
171170fvconst2 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) `  y )  =  ( F `  A ) )
172171eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
( F `  y
)  =  ( ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } ) `  y
)  <->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) ) )
173172ralbiia 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `
 y )  =  ( ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } ) `
 y )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
174169, 173syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A ) ) )
175 fconstmpt 5029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A [,] B )  X.  { ( F `
 A ) } )  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) )
176175eqeq2i 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  <-> 
F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) ) )
177176biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  ->  F  =  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  A ) ) )
178177oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } )  ->  ( RR  _D  F )  =  ( RR  _D  ( u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `
 A ) ) ) )
179153recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
180179adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  RR )  ->  ( F `
 A )  e.  CC )
181 0cnd 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
18260, 179dvmptc 22227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  RR  |->  ( F `  A ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  0 ) )
18360, 180, 181, 182, 49, 55, 54, 57dvmptres2 22231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
u  e.  ( A [,] B )  |->  ( F `  A ) ) )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
184178, 183sylan9eqr 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  ( RR  _D  F )  =  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
185184fveq1d 5854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  ( ( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 ) `  x
) )
186 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  0  =  0 )
187 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  |->  0 )  =  ( u  e.  ( A (,) B
)  |->  0 )
188 c0ex 9588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  _V
189186, 187, 188fvmpt 5937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
( u  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 ) `  x
)  =  0 )
190185, 189sylan9eq 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X. 
{ ( F `  A ) } ) )  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  ->  (
( RR  _D  F
) `  x )  =  0 )
191190ralrimiva 2855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
192 ioon0 11559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =/=  (/)  <->  A  <  B ) )
193149, 150, 192syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  =/=  (/)  <->  A  <  B ) )
1943, 193mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =/=  (/) )
195 r19.2z 3900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A (,) B
)  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `
 x )  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
196194, 195sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
197191, 196syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( ( A [,] B )  X.  {
( F `  A
) } ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
198197ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( ( A [,] B
)  X.  { ( F `  A ) } )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
199174, 198sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  =  ( F `  A )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 ) )
200199ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y )  =  ( F `  A )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
201163, 200sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  ( ( F `
 u )  =  ( F `  A
)  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
202201impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( ( F `  u )  =  ( F `  A )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  A ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
203148, 202syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  (
( u  e.  { A ,  B }  /\  v  e.  { A ,  B } )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
20426, 130, 203ecased 942 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( F `
 y )  <_ 
( F `  u
)  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y )
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 )
205204ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( F `  y
)  <_  ( F `  u )  /\  ( F `  v )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  F ) `  x )  =  0 ) )
2069, 205syl5bir 218 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  v  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
207206rexlimdvva 2940 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( A [,] B
) E. v  e.  ( A [,] B
) ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  u )  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  v
)  <_  ( F `  y ) )  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F
) `  x )  =  0 ) )
2088, 207mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  F ) `  x
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   {cpr 4012   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491    X. cxp 4983   dom cdm 4985   ran crn 4986    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   -ucneg 9806   (,)cioo 11533   [,]cicc 11536   TopOpenctopn 14691   topGenctg 14707  ℂfldccnfld 18288   intcnt 19384   -cn->ccncf 21246    _D cdv 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137
This theorem is referenced by:  cmvth  22258  lhop1lem  22280
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