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Theorem rolle 19827
 Description: Rolle's theorem. If is a real continuous function on which is differentiable on , and , then there is some such that . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a
rolle.b
rolle.lt
rolle.f
rolle.d
rolle.e
Assertion
Ref Expression
rolle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem rolle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rolle.a . . . 4
2 rolle.b . . . 4
3 rolle.lt . . . . 5
41, 2, 3ltled 9177 . . . 4
5 rolle.f . . . 4
61, 2, 4, 5evthicc 19309 . . 3
7 reeanv 2835 . . 3
86, 7sylibr 204 . 2
9 r19.26 2798 . . . 4
101ad2antrr 707 . . . . . . . 8
112ad2antrr 707 . . . . . . . 8
123ad2antrr 707 . . . . . . . 8
135ad2antrr 707 . . . . . . . 8
14 rolle.d . . . . . . . . 9
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8
16 simpl 444 . . . . . . . . . . 11
1716ralimi 2741 . . . . . . . . . 10
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
1918breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11
2019cbvralv 2892 . . . . . . . . . 10
2117, 20sylib 189 . . . . . . . . 9
2221ad2antrl 709 . . . . . . . 8
23 simplrl 737 . . . . . . . 8
24 simprr 734 . . . . . . . 8
2510, 11, 12, 13, 15, 22, 23, 24rollelem 19826 . . . . . . 7
2625expr 599 . . . . . 6
271ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
282ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
293ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
30 cncff 18876 . . . . . . . . . . . . . . 15
315, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
3231ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13
3332renegcld 9420 . . . . . . . . . . . 12
34 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11
36 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . 12
37 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 cncfss 18882 . . . . . . . . . . . . . . 15
3936, 37, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14
4039, 5sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13
4134negfcncf 18902 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12
43 cncffvrn 18881 . . . . . . . . . . . 12
4436, 42, 43sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
4535, 44mpbird 224 . . . . . . . . . 10
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
48 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15
491, 2, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
50 fss 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5131, 36, 50sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . 14
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
5554tgioo2 18787 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt
56 iccntr 18805 . . . . . . . . . . . . . . 15
571, 2, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
5847, 49, 53, 55, 54, 57dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . . . 13
59 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059prid1 3872 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463, 52sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
6731feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 dvf 19747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7014feq2d 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7169, 70mpbii 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15
7347, 49, 52, 55, 54, 57dvmptntr 19810 . . . . . . . . . . . . . . 15
7468, 72, 733eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . . 14
7561, 64, 66, 74dvmptneg 19805 . . . . . . . . . . . . 13
7658, 75eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12
7776dmeqd 5031 . . . . . . . . . . 11
78 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . 12
79 negex 9260 . . . . . . . . . . . . 13
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8178, 80mprg 2735 . . . . . . . . . . 11
8277, 81syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
84 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
8531ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8785, 86ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8831adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9087, 89lenegd 9561 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9492, 34, 93fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9997, 34, 98fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10086, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10195, 100breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . 15
10290, 101bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . 14
10384, 102syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . 13
104103ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . 12
105104imp 419 . . . . . . . . . . 11
106 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13
107106breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12
108107cbvralv 2892 . . . . . . . . . . 11
109105, 108sylib 189 . . . . . . . . . 10
110109adantrr 698 . . . . . . . . 9
111 simplrr 738 . . . . . . . . 9
112 simprr 734 . . . . . . . . 9
11327, 28, 29, 46, 83, 110, 111, 112rollelem 19826 . . . . . . . 8
11476fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . 13
115 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . 14
117 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
118 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . 14
119116, 117, 118fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13
120114, 119sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . 12
121120eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11
12214eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
123122biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13
12469ffvelrni 5828 . . . . . . . . . . . . 13
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . 12
126125negeq0d 9359 . . . . . . . . . . 11
127121, 126bitr4d 248 . . . . . . . . . 10
128127rexbidva 2683 . . . . . . . . 9
129128ad2antrr 707 . . . . . . . 8
130113, 129mpbid 202 . . . . . . 7
131130expr 599 . . . . . 6
132 vex 2919 . . . . . . . . . . 11
133132elpr 3792 . . . . . . . . . 10
134 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11
136 rolle.e . . . . . . . . . . . . 13
137136eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . 12
138 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13
139138eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12
140137, 139syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11
141135, 140jaod 370 . . . . . . . . . 10
142133, 141syl5bi 209 . . . . . . . . 9
143 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12
14496eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12
145143, 144imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11
146145imbi2d 308 . . . . . . . . . 10
147146, 142chvarv 2063 . . . . . . . . 9
148142, 147anim12d 547 . . . . . . . 8
149148ad2antrr 707 . . . . . . 7
1501rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1512rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152 lbicc2 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153150, 151, 4, 152syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15431, 153ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15
155154ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
15689, 155letri3d 9171 . . . . . . . . . . . . 13
157 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . 15
158 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15
159157, 158bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . . 14
160159bibi2d 310 . . . . . . . . . . . . 13
161156, 160syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12
162161impancom 428 . . . . . . . . . . 11
163162imp 419 . . . . . . . . . 10
164163ralbidva 2682 . . . . . . . . 9
165 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14
16631, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
167 fnconstg 5590 . . . . . . . . . . . . . 14
168154, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
169 eqfnfv 5786 . . . . . . . . . . . . 13
170166, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
171 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15
172171fvconst2 5906 . . . . . . . . . . . . . 14
173172eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13
174173ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . 12
175170, 174syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11
176 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
177176eqeq2i 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178177biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179178oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180154recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
181180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18461, 180dvmptc 19797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18561, 181, 183, 184, 49, 55, 54, 57dvmptres2 19801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
186179, 185sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187186fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15
188 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . 16
189 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16
190 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . . . . . 16
191188, 189, 190fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15
192187, 191sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14
193192ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13
194 ioon0 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195150, 151, 194syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
1963, 195mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14
197 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . . 14
198196, 197sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13
199193, 198syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
200199ex 424 . . . . . . . . . . 11
201175, 200sylbird 227 . . . . . . . . . 10
202201ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
203164, 202sylbird 227 . . . . . . . 8
204203impancom 428 . . . . . . 7
205149, 204syld 42 . . . . . 6
20626, 131, 205ecased 911 . . . . 5
207206ex 424 . . . 4
2089, 207syl5bir 210 . . 3
209208rexlimdvva 2797 . 2
2108, 209mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   wss 3280  c0 3588  csn 3774  cpr 3775   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cxp 4835   cdm 4837   crn 4838   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  cneg 9248  cioo 10872  cicc 10875  ctopn 13604  ctg 13620  ℂfldccnfld 16658  cnt 17036  ccncf 18859   cdv 19703 This theorem is referenced by:  cmvth  19828  lhop1lem  19850 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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