Theorem rnss 4189

Description: Subset theorem for range.

Assertion

Ref	Expression
rnss	|- (A C_ B -> ran A C_ ran B)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 4134	. . 3 |- (A C_ B -> `'A C_ `'B)
2		dmss 4156	. . 3 |- (`'A C_ `'B -> dom `' A C_ dom `' B)
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (A C_ B -> dom `' A C_ dom `' B)
4		df-rn 4005	. 2 |- ran A = dom `' A
5		df-rn 4005	. 2 |- ran B = dom `' B
6	3, 4, 5	3sstr4g 2658	1 |- (A C_ B -> ran A C_ ran B)

Syntax hints:   -> wi 3   C_ wss 2593  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  imass1 4298  imass2 4299  ssxpb 4346  ssrnres 4354  funssxp 4577  fssres 4582  dff2 4789  dff3 4790  1stcof 5040  mapval2 5394  fodom 5960  brdom4 5965  infxpidmlem7 8827  lmsslem 9230  ssga 9455  sspba 9725  fresin 13840  frxp 13951  axdenselem6 14024  svs2 14829  rnhmph 14887  ranleqt 15021  relrded 15089  dmrngcmp 15098  relrcat 15110  cnsubsp 15426  filnet 15645  heiborlem6 15960  heiborlem11 15965  heiborlem12 15966  heiborlem14 15968  heiborlem16 15970  smores 16446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain