Theorem rnsnop 4375

Description: The range of a singleton of an ordered pair is the singleton of the second member.

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rnsnop	|- ran {<.A, B>.} = {B}

Proof of Theorem rnsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 4005	. 2 |- ran {<.A, B>.} = dom `'{<.A, B>.}
2		cnvsn.1	. . . 4 |- A e. _V
3		cnvsn.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	cnvsn 4373	. . 3 |- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}
5	4	dmeqi 4158	. 2 |- dom `'{<.A, B>.} = dom {<.B, A>.}
6		dmsnop 4367	. 2 |- dom {<.B, A>.} = {B}
7	1, 5, 6	3eqtri 1912	1 |- ran {<.A, B>.} = {B}

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  op2nda 4377  fpr 4810  fprOLD 4811  en1 5485  ringsn 9490  on1el3 10412  on1el4 10413  zrdivrng 10418  ghomsn 13631  idtrgrp 14978  invtrgrp 14979  extopgrp 14980  1alg 15069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain