Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnlogblem Structured version   Unicode version

Theorem rnlogblem 26594
Description: Useful lemma for working with integer logarithm bases (with is a common case, e.g. base 2, base 3 or base 10). (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
rnlogblem  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )

Proof of Theorem rnlogblem
StepHypRef Expression
1 2z 10781 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2 1le2 10638 . . . . . . 7  |-  1  <_  2
3 1z 10779 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
43eluz1i 10971 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  1  <_ 
2 ) )
51, 2, 4mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
6 uzss 10984 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
8 nnuz 10999 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
97, 8sseqtr4i 3489 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
109sseli 3452 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  NN )
1110nnrpd 11129 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  RR+ )
12 2pos 10516 . . . . 5  |-  0  <  2
13 0re 9489 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
14 2re 10494 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1513, 14ltnlei 9598 . . . . 5  |-  ( 0  <  2  <->  -.  2  <_  0 )
1612, 15mpbi 208 . . . 4  |-  -.  2  <_  0
17 eluzle 10976 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  0 )
1816, 17mto 176 . . 3  |-  -.  0  e.  ( ZZ>= `  2 )
19 nelne2 2778 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -.  0  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  B  =/=  0 )
2018, 19mpan2 671 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  0 )
21 1nuz2 11033 . . 3  |-  -.  1  e.  ( ZZ>= `  2 )
22 nelne2 2778 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -.  1  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  B  =/=  1 )
2321, 22mpan2 671 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  1 )
2411, 20, 233jca 1168 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2644    C_ wss 3428   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   0cc0 9385   1c1 9386    < clt 9521    <_ cle 9522   NNcn 10425   2c2 10474   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964   RR+crp 11094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095
This theorem is referenced by:  rnlogbval  26595  rnlogbcl  26596  nnlogbexp  26599  logbrec  26600
  Copyright terms: Public domain W3C validator