Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnlogblem Unicode version

Theorem rnlogblem 24352
Description: Useful lemma for working with integer logarithm bases (with is a common case, e.g. base 2, base 3 or base 10) (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
rnlogblem  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )

Proof of Theorem rnlogblem
StepHypRef Expression
1 2z 10268 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
4 1lt2 10098 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
52, 3, 4ltleii 9152 . . . . . . 7  |-  1  <_  2
6 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
76eluz1i 10451 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  1  <_ 
2 ) )
81, 5, 7mpbir2an 887 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
9 uzss 10462 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
11 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1210, 11sseqtr4i 3341 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1312sseli 3304 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  NN )
1413nnrpd 10603 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  RR+ )
15 2pos 10038 . . . . 5  |-  0  <  2
16 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
1716, 3ltnlei 9150 . . . . 5  |-  ( 0  <  2  <->  -.  2  <_  0 )
1815, 17mpbi 200 . . . 4  |-  -.  2  <_  0
19 eluzle 10454 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  0 )
2018, 19mto 169 . . 3  |-  -.  0  e.  ( ZZ>= `  2 )
21 nelne2 2657 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -.  0  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  B  =/=  0 )
2220, 21mpan2 653 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  0 )
23 1nuz2 10507 . . 3  |-  -.  1  e.  ( ZZ>= `  2 )
24 nelne2 2657 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -.  1  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  B  =/=  1 )
2523, 24mpan2 653 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  1 )
2614, 22, 253jca 1134 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1721    =/= wne 2567    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  rnlogbval  24353  rnlogbcl  24354  nnlogbexp  24357  logbrec  24358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator