Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngunsnply Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rngunsnply 36110
 Description: Adjoining one element to a ring results in a set of polynomial evaluations. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngunsnply.b SubRingfld
rngunsnply.x
rngunsnply.s RingSpanfld
Assertion
Ref Expression
rngunsnply Poly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rngunsnply
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngunsnply.s . . 3 RingSpanfld
21eleq2d 2534 . 2 RingSpanfld
3 cnring 19067 . . . . . . 7 fld
43a1i 11 . . . . . 6 fld
5 cnfldbas 19051 . . . . . . 7 fld
65a1i 11 . . . . . 6 fld
7 rngunsnply.b . . . . . . . 8 SubRingfld
85subrgss 18087 . . . . . . . 8 SubRingfld
97, 8syl 17 . . . . . . 7
10 rngunsnply.x . . . . . . . 8
1110snssd 4108 . . . . . . 7
129, 11unssd 3601 . . . . . 6
13 eqidd 2472 . . . . . 6 RingSpanfld RingSpanfld
14 eqidd 2472 . . . . . 6 RingSpanfld RingSpanfld
15 eqidd 2472 . . . . . . 7 flds Poly flds Poly
16 cnfld0 19069 . . . . . . . 8 fld
1716a1i 11 . . . . . . 7 fld
18 cnfldadd 19052 . . . . . . . 8 fld
1918a1i 11 . . . . . . 7 fld
20 plyf 23231 . . . . . . . . . . . 12 Poly
21 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12
2220, 10, 21syl2anr 486 . . . . . . . . . . 11 Poly
23 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . 10 Poly
2524rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9 Poly
2625ss2abdv 3488 . . . . . . . 8 Poly
27 abid2 2593 . . . . . . . . 9
2827, 5eqtri 2493 . . . . . . . 8 fld
2926, 28syl6sseq 3464 . . . . . . 7 Poly fld
30 abid2 2593 . . . . . . . . 9
31 plyconst 23239 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
329, 31sylan 479 . . . . . . . . . . . 12 Poly
3310adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
34 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534fvconst2 6136 . . . . . . . . . . . . . 14
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
3736eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12
38 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14
3938eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13
4039rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
4132, 37, 40syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 Poly
4241ex 441 . . . . . . . . . 10 Poly
4342ss2abdv 3488 . . . . . . . . 9 Poly
4430, 43syl5eqssr 3463 . . . . . . . 8 Poly
45 subrgsubg 18092 . . . . . . . . . 10 SubRingfld SubGrpfld
467, 45syl 17 . . . . . . . . 9 SubGrpfld
4716subg0cl 16903 . . . . . . . . 9 SubGrpfld
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8
4944, 48sseldd 3419 . . . . . . 7 Poly
50 biid 244 . . . . . . . . 9
51 vex 3034 . . . . . . . . . 10
52 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
5352rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
54 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
5554eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
5655cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
5753, 56syl6bb 269 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
5851, 57elab 3173 . . . . . . . . 9 Poly Poly
59 vex 3034 . . . . . . . . . 10
60 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
6160rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
62 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
6362eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
6463cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
6561, 64syl6bb 269 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
6659, 65elab 3173 . . . . . . . . 9 Poly Poly
67 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
68 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly Poly
6918subrgacl 18097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SubRingfld
70693expb 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubRingfld
717, 70sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
7372adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
7467, 68, 73plyadd 23250 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly Poly
75 plyf 23231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
76 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
7877ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
79 plyf 23231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly
80 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
83 cnex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
8510ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
86 fnfvof 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8778, 82, 84, 85, 86syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
8887eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
89 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9089eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
9274, 88, 91syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly Poly
93 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
9692, 95syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly Poly
9796rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly
98 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14
10099rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
101100imbi2d 323 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly Poly
10297, 101syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
103102rexlimdva 2871 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
1041033imp 1224 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
10550, 58, 66, 104syl3anb 1335 . . . . . . . 8 Poly Poly Poly
106 ovex 6336 . . . . . . . . 9
107 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
108107rexbidv 2892 . . . . . . . . 9 Poly Poly
109106, 108elab 3173 . . . . . . . 8 Poly Poly
110105, 109sylibr 217 . . . . . . 7 Poly Poly Poly
111 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112 cnfldneg 19071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld
114 cnfld1 19070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
115114subrg1cl 18094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SubRingfld
1167, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 fld fld
118117subginvcl 16904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrpfld fld
11946, 116, 118syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld
120113, 119eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 plyconst 23239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
1229, 120, 121syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
123122adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
124 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
125 cnfldmul 19053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
126125subrgmcl 18098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubRingfld
1271263expb 1232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubRingfld
1287, 127sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
130123, 124, 72, 129plymul 23251 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
131 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13275, 10, 131syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
133 cnfldneg 19071 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly fld
135 negex 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136 fnconstg 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137135, 136mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
13877adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
13983a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
14010adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
141 fnfvof 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142137, 138, 139, 140, 141syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
143135fvconst2 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144140, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
145144oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
146132mulm1d 10091 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly
147142, 145, 1463eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
148134, 147eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13 Poly fld
149 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15
150149eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld
151150rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13 Poly fld Polyfld
152130, 148, 151syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polyfld
153 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld
154153eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
155154rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12 Polyfld Polyfld
156152, 155syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11 Poly Polyfld
157156rexlimdva 2871 . . . . . . . . . 10 Poly Polyfld
158157imp 436 . . . . . . . . 9 Poly Polyfld
15958, 158sylan2b 483 . . . . . . . 8 Poly Polyfld
160 fvex 5889 . . . . . . . . 9 fld
161 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10 fld fld
162161rexbidv 2892 . . . . . . . . 9 fld Poly Polyfld
163160, 162elab 3173 . . . . . . . 8 fld Poly Polyfld
164159, 163sylibr 217 . . . . . . 7 Poly fld Poly
165114a1i 11 . . . . . . 7 fld
166125a1i 11 . . . . . . 7 fld
16744, 116sseldd 3419 . . . . . . 7 Poly
168129adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
16967, 68, 73, 168plymul 23251 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly Poly
170 fnfvof 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
17178, 82, 84, 85, 170syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly Poly
172171eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
173 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174173eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175174rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly Poly
176169, 172, 175syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly Poly
177 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178177eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15
179178rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Poly
180176, 179syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly Poly
181180rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly
182 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15
183182eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14
184183rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Poly
185184imbi2d 323 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly Poly Poly
186181, 185syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
187186rexlimdva 2871 . . . . . . . . . 10 Poly Poly Poly
1881873imp 1224 . . . . . . . . 9 Poly Poly Poly
18950, 58, 66, 188syl3anb 1335 . . . . . . . 8 Poly Poly Poly
190 ovex 6336 . . . . . . . . 9
191 eqeq1 2475 . . . . . . . . . 10
192191rexbidv 2892 . . . . . . . . 9 Poly Poly
193190, 192elab 3173 . . . . . . . 8 Poly Poly
194189, 193sylibr 217 . . . . . . 7 Poly Poly Poly
19515, 17, 19, 29, 49, 110, 164, 165, 166, 167, 194, 4issubrngd2 18490 . . . . . 6 Poly SubRingfld
196 plyid 23242 . . . . . . . . . . 11 Poly
1979, 116, 196syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 Poly
198 df-idp 23222 . . . . . . . . . . . 12
199198fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11
200 fvresi 6106 . . . . . . . . . . . 12
20110, 200syl 17 . . . . . . . . . . 11
202199, 201syl5req 2518 . . . . . . . . . 10
203 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12
204203eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
205204rspcev 3136 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
206197, 202, 205syl2anc 673 . . . . . . . . 9 Poly
207 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
208207rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
209208elabg 3174 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
21010, 209syl 17 . . . . . . . . 9 Poly Poly
211206, 210mpbird 240 . . . . . . . 8 Poly
212211snssd 4108 . . . . . . 7 Poly
21344, 212unssd 3601 . . . . . 6 Poly
2144, 6, 12, 13, 14, 195, 213rgspnmin 36108 . . . . 5 RingSpanfld Poly
215214sseld 3417 . . . 4 RingSpanfld Poly
216 fvex 5889 . . . . . . 7
217 eleq1 2537 . . . . . . 7
218216, 217mpbiri 241 . . . . . 6
219218rexlimivw 2869 . . . . 5 Poly
220 eqeq1 2475 . . . . . 6
221220rexbidv 2892 . . . . 5 Poly Poly
222219, 221elab3 3180 . . . 4 Poly Poly
223215, 222syl6ib 234 . . 3 RingSpanfld Poly
2244, 6, 12, 13, 14rgspncl 36106 . . . . . . 7 RingSpanfld SubRingfld
225224adantr 472 . . . . . 6 Poly RingSpanfld SubRingfld
226 simpr 468 . . . . . 6 Poly Poly
2274, 6, 12, 13, 14rgspnssid 36107 . . . . . . . . 9 RingSpanfld
228227unssbd 3603 . . . . . . . 8 RingSpanfld
229 snidg 3986 . . . . . . . . 9
23010, 229syl 17 . . . . . . . 8
231228, 230sseldd 3419 . . . . . . 7 RingSpanfld
232231adantr 472 . . . . . 6 Poly RingSpanfld
233227unssad 3602 . . . . . . 7 RingSpanfld
234233adantr 472 . . . . . 6 Poly RingSpanfld
235225, 226, 232, 234cnsrplycl 36104 . . . . 5 Poly RingSpanfld
236 eleq1 2537 . . . . 5 RingSpanfld RingSpanfld
237235, 236syl5ibrcom 230 . . . 4 Poly RingSpanfld
238237rexlimdva 2871 . . 3 Poly RingSpanfld
239223, 238impbid 195 . 2 RingSpanfld Poly
2402, 239bitrd 261 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   wss 3390  csn 3959   cid 4749   cxp 4837   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562  cneg 9881  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  cmulr 15269  c0g 15416  cminusg 16748  SubGrpcsubg 16889  cur 17813  crg 17858  SubRingcsubrg 18082  RingSpancrgspn 18083  ℂfldccnfld 19047  Polycply 23217  cidp 23218 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-rgspn 18085  df-cnfld 19048  df-0p 22707  df-ply 23221  df-idp 23222  df-coe 23223  df-dgr 23224 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator