MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngstr Structured version   Unicode version

Theorem rngstr 14396
Description: A constructed ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
Assertion
Ref Expression
rngstr  |-  R Struct  <. 1 ,  3 >.

Proof of Theorem rngstr
StepHypRef Expression
1 rngfn.r . 2  |-  R  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. }
2 1nn 10437 . . 3  |-  1  e.  NN
3 basendx 14334 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 1lt2 10592 . . 3  |-  1  <  2
5 2nn 10583 . . 3  |-  2  e.  NN
6 plusgndx 14383 . . 3  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
7 2lt3 10593 . . 3  |-  2  <  3
8 3nn 10584 . . 3  |-  3  e.  NN
9 mulrndx 14394 . . 3  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strle3 14382 . 2  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >.
111, 10eqbrtri 4412 1  |-  R Struct  <. 1 ,  3 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   {ctp 3982   <.cop 3984   class class class wbr 4393   ` cfv 5519   1c1 9387   2c2 10475   3c3 10476   Struct cstr 14281   ndxcnx 14282   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   .rcmulr 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363
This theorem is referenced by:  rngbase  14397  rngplusg  14398  rngmulr  14399  srngfn  14404  ipsstr  14420  odrngstr  14456  psrvalstr  17545  algstr  29675
  Copyright terms: Public domain W3C validator