MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngrz Structured version   Unicode version

Theorem rngrz 17037
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngz.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rngrz  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem rngrz
StepHypRef Expression
1 rnggrp 17005 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rngz.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rngz.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 15888 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
5 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
62, 5, 3grplid 15890 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R )  .0.  )  =  .0.  )
74, 6mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Grp  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
109oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
11 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
121, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
1411, 13, 133jca 1176 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  .0.  e.  B ) )
15 rngz.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
162, 5, 15rngdi 17018 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  .0.  e.  B ) )  -> 
( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  ) )  =  ( ( X 
.x.  .0.  ) ( +g  `  R ) ( X  .x.  .0.  )
) )
1714, 16syldan 470 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )  =  ( ( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) ) )
181adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
192, 15rngcl 17013 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )
2013, 19mpd3an3 1325 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )
212, 5, 3grplid 15890 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2221eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X 
.x.  .0.  ) )
)
2318, 20, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X 
.x.  .0.  ) )
)
2410, 17, 233eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) ) )
252, 5grprcan 15893 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .x.  .0.  )  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B ) )  -> 
( ( ( X 
.x.  .0.  ) ( +g  `  R ) ( X  .x.  .0.  )
)  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
2618, 20, 13, 20, 25syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
2724, 26mpbid 210 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727   Ringcrg 17000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-mgp 16944  df-rng 17002
This theorem is referenced by:  rngsrg  17038  rngnegr  17042  gsummgp0  17057  gsumdixpOLD  17058  gsumdixp  17059  dvdsr02  17106  isdrng2  17206  drngmul0or  17217  cntzsubr  17261  isabvd  17269  lmodvs0  17346  rrgeq0  17737  unitrrg  17741  domneq0  17745  psrridm  17857  psrridmOLD  17858  mpllsslem  17893  mpllsslemOLD  17895  mplsubrglem  17899  mplsubrglemOLD  17900  mplcoe1  17926  mplmon2  17957  evlslem4OLD  17972  evlslem4  17973  coe1tmmul2  18116  cply1mul  18134  ocvlss  18498  frlmphl  18607  uvcresum  18619  mamurid  18739  matsc  18747  dmatmul  18794  dmatscmcl  18800  scmatscmide  18804  mulmarep1el  18869  mdetdiaglem  18895  mdetero  18907  mdetunilem8  18916  mdetunilem9  18917  mdetuni0  18918  maducoeval2  18937  madugsum  18940  smadiadetlem1a  18960  smadiadetglem2  18969  chpdmatlem2  19135  chfacfpmmul0  19158  cayhamlem4  19184  mdegvscale  22238  mdegmullem  22241  coe1mul3  22263  deg1mul3le  22280  ply1divex  22300  ply1rem  22327  fta1blem  22332  kerunit  27504  cntzsdrg  30784  mgpsumz  32048  domnmsuppn0  32061  rmsuppss  32062  ply1mulgsumlem2  32086  lincresunit2  32178  lfl0f  33884  lfl0sc  33897  lkrlss  33910  lcfrlem33  36390  hdmapinvlem3  36738  hdmapglem7b  36746
  Copyright terms: Public domain W3C validator