MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngrz Structured version   Unicode version

Theorem rngrz 16804
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngz.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rngrz  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )

Proof of Theorem rngrz
StepHypRef Expression
1 rnggrp 16772 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rngz.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rngz.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 15684 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
5 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
62, 5, 3grplid 15686 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .0.  e.  B )  -> 
(  .0.  ( +g  `  R )  .0.  )  =  .0.  )
74, 6mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Grp  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  )  =  .0.  )
109oveq2d 6215 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
11 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
121, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
1411, 13, 133jca 1168 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  .0.  e.  B ) )
15 rngz.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
162, 5, 15rngdi 16785 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  .0.  e.  B ) )  -> 
( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R
)  .0.  ) )  =  ( ( X 
.x.  .0.  ) ( +g  `  R ) ( X  .x.  .0.  )
) )
1714, 16syldan 470 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  (  .0.  ( +g  `  R )  .0.  ) )  =  ( ( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) ) )
181adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
192, 15rngcl 16780 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )
2013, 19mpd3an3 1316 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )
212, 5, 3grplid 15686 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  ( X  .x.  .0.  )
)
2221eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X 
.x.  .0.  ) )
)
2318, 20, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  (  .0.  ( +g  `  R ) ( X 
.x.  .0.  ) )
)
2410, 17, 233eqtr3d 2503 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) ) )
252, 5grprcan 15689 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .x.  .0.  )  e.  B  /\  .0.  e.  B  /\  ( X  .x.  .0.  )  e.  B ) )  -> 
( ( ( X 
.x.  .0.  ) ( +g  `  R ) ( X  .x.  .0.  )
)  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
2618, 20, 13, 20, 25syl13anc 1221 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( X  .x.  .0.  ) ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  =  (  .0.  ( +g  `  R
) ( X  .x.  .0.  ) )  <->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  ) )
2724, 26mpbid 210 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  .0.  )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291   +g cplusg 14356   .rcmulr 14357   0gc0g 14496   Grpcgrp 15528   Ringcrg 16767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-plusg 14369  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-mgp 16713  df-rng 16769
This theorem is referenced by:  rngsrg  16805  rngnegr  16808  gsummgp0  16821  gsumdixpOLD  16822  gsumdixp  16823  dvdsr02  16870  isdrng2  16964  drngmul0or  16975  cntzsubr  17019  isabvd  17027  lmodvs0  17104  rrgeq0  17483  unitrrg  17487  domneq0  17491  psrridm  17598  psrridmOLD  17599  mpllsslem  17634  mpllsslemOLD  17636  mplsubrglem  17640  mplsubrglemOLD  17641  mplcoe1  17667  mplmon2  17698  evlslem4OLD  17713  evlslem4  17714  coe1tmmul2  17852  ocvlss  18221  frlmphl  18330  uvcresum  18342  mamurid  18429  matsc  18467  mulmarep1el  18509  mdetdiaglem  18535  mdetero  18547  mdetunilem8  18556  mdetunilem9  18557  mdetuni0  18558  maducoeval2  18577  madugsum  18580  smadiadetlem1a  18600  smadiadetglem2  18609  mdegvscale  21678  mdegmullem  21681  coe1mul3  21703  deg1mul3le  21720  ply1divex  21740  ply1rem  21767  fta1blem  21772  kerunit  26435  cntzsdrg  29706  mgpsumz  30907  domnmsuppn0  30929  rmsuppss  30930  ply1mulgsumlem2  30998  cply1mul  31004  scmatel  31021  dmatmul  31041  lincresunit2  31130  cpdmatlem2  31310  chfacfpmmul0  31333  cayhamlem4  31360  lfl0f  33037  lfl0sc  33050  lkrlss  33063  lcfrlem33  35543  hdmapinvlem3  35891  hdmapglem7b  35899
  Copyright terms: Public domain W3C validator