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Theorem rngpropd 15650
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
rngpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
rngpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
rngpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
rngpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem rngpropd
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  ph )
2 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  u  e.  B )
3 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  K  e.  Grp )
4 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
v  e.  B )
5 rngpropd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
65ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
74, 6eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
v  e.  ( Base `  K ) )
8 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  w  e.  B )
98, 6eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  w  e.  ( Base `  K ) )
10 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
1210, 11grpcl 14773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  v  e.  ( Base `  K )  /\  w  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  e.  ( Base `  K
) )
1413, 6eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  e.  B )
15 rngpropd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
1615proplem 13870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
171, 2, 14, 16syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
18 rngpropd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
1918proplem 13870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
201, 4, 8, 19syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  L ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )
2217, 21eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )
23 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
(mulGrp `  K )  e.  Mnd )
242, 6eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  u  e.  ( Base `  K ) )
25 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  K )  =  (mulGrp `  K )
2625, 10mgpbas 15609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (mulGrp `  K
) )
27 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
2825, 27mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  K )  =  ( +g  `  (mulGrp `  K ) )
2926, 28mndcl 14650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  K )  e.  Mnd  /\  u  e.  ( Base `  K
)  /\  v  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( u
( .r `  K
) v )  e.  ( Base `  K
) )
3023, 24, 7, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  e.  ( Base `  K ) )
3130, 6eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  e.  B )
3226, 28mndcl 14650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  K )  e.  Mnd  /\  u  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( u
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
3323, 24, 9, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
3433, 6eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  e.  B )
3518proplem 13870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( .r `  K ) v )  e.  B  /\  (
u ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r
`  K ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  K ) w ) ) )
361, 31, 34, 35syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  K ) w ) ) )
3715proplem 13870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  =  ( u ( .r `  L
) v ) )
381, 2, 4, 37syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  =  ( u ( .r `  L
) v ) )
3915proplem 13870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  =  ( u ( .r `  L
) w ) )
401, 2, 8, 39syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  =  ( u ( .r `  L
) w ) )
4138, 40oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) ) )
4236, 41eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) ) )
4322, 42eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  <->  ( u
( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) ) ) )
4410, 11grpcl 14773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  K )  /\  v  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
) )
453, 24, 7, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  e.  ( Base `  K
) )
4645, 6eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B )
4715proplem 13870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  L ) w ) )
481, 46, 8, 47syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  L ) w ) )
4918proplem 13870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
501, 2, 4, 49syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
5150oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w ) )
5248, 51eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w ) )
5326, 28mndcl 14650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  K )  e.  Mnd  /\  v  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( v
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
5423, 7, 9, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
5554, 6eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  e.  B )
5618proplem 13870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( .r `  K ) w )  e.  B  /\  (
v ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( u ( .r `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r
`  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )
571, 34, 55, 56syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r
`  K ) w ) ) )
5815proplem 13870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  =  ( v ( .r `  L
) w ) )
591, 4, 8, 58syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  =  ( v ( .r `  L
) w ) )
6040, 59oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r
`  L ) w ) ) )
6157, 60eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r
`  L ) w ) ) )
6252, 61eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) )  <->  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) )
6343, 62anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
6463anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
6564ralbidva 2682 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( .r `  K
) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
66652ralbidva 2706 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
675adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
6867raleqdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( .r `  K
) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
6967, 68raleqbidv 2876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( .r `  K
) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
7067, 69raleqbidv 2876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
71 rngpropd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
7271adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
7372raleqdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( .r
`  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( .r `  L
) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7472, 73raleqbidv 2876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( .r `  L
) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7572, 74raleqbidv 2876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
7666, 70, 753bitr3d 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
7776pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  K
) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  L
) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
78 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e. 
Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K
) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  K
) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
79 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e. 
Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L
) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) )  <->  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  L
) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8077, 78, 793bitr4g 280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
815, 71, 18grppropd 14778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
825, 26syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  K )
) )
83 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  L )  =  (mulGrp `  L )
84 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
8583, 84mgpbas 15609 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  (mulGrp `  L
) )
8671, 85syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  L )
) )
8728oveqi 6053 . . . . . 6  |-  ( x ( .r `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )
88 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
8983, 88mgpplusg 15607 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  L )  =  ( +g  `  (mulGrp `  L ) )
9089oveqi 6053 . . . . . 6  |-  ( x ( .r `  L
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y )
9115, 87, 903eqtr3g 2459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y ) )
9282, 86, 91mndpropd 14676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  <->  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd )
)
9381, 923anbi12d 1255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
9480, 93bitrd 245 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
9510, 25, 11, 27isrng 15623 . 2  |-  ( K  e.  Ring  <->  ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
96 eqid 2404 . . 3  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
9784, 83, 96, 88isrng 15623 . 2  |-  ( L  e.  Ring  <->  ( L  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
9894, 95, 973bitr4g 280 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   Mndcmnd 14639   Grpcgrp 14640  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615
This theorem is referenced by:  crngpropd  15651  rngprop  15652  opprrngb  15692  drngpropd  15817  subrgpropd  15857  rhmpropd  15858  abvpropd  15885  lmodprop2d  15961  sraassa  16339  assapropd  16341  subrgpsr  16437  opsrrng  16594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-mgp 15604  df-rng 15618
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