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Theorem rngpropd 16666
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a ring iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
rngpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
rngpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
rngpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
rngpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem rngpropd
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  ph )
2 simprll 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  u  e.  B )
3 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  K  e.  Grp )
4 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
v  e.  B )
5 rngpropd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
65ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
74, 6eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
v  e.  ( Base `  K ) )
8 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  w  e.  B )
98, 6eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  w  e.  ( Base `  K ) )
10 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
1210, 11grpcl 15544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  v  e.  ( Base `  K )  /\  w  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  e.  ( Base `  K
) )
1413, 6eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  e.  B )
15 rngpropd.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
1615proplem 14624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
171, 2, 14, 16syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
18 rngpropd.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
1918proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
201, 4, 8, 19syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
2120oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  L ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )
2217, 21eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )
23 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
(mulGrp `  K )  e.  Mnd )
242, 6eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  ->  u  e.  ( Base `  K ) )
25 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  K )  =  (mulGrp `  K )
2625, 10mgpbas 16587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (mulGrp `  K
) )
27 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
2825, 27mgpplusg 16585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  K )  =  ( +g  `  (mulGrp `  K ) )
2926, 28mndcl 15416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  K )  e.  Mnd  /\  u  e.  ( Base `  K
)  /\  v  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( u
( .r `  K
) v )  e.  ( Base `  K
) )
3023, 24, 7, 29syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  e.  ( Base `  K ) )
3130, 6eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  e.  B )
3226, 28mndcl 15416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  K )  e.  Mnd  /\  u  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( u
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
3323, 24, 9, 32syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
3433, 6eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  e.  B )
3518proplem 14624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( .r `  K ) v )  e.  B  /\  (
u ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r
`  K ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  K ) w ) ) )
361, 31, 34, 35syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  K ) w ) ) )
3715proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  =  ( u ( .r `  L
) v ) )
381, 2, 4, 37syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) v )  =  ( u ( .r `  L
) v ) )
3915proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  =  ( u ( .r `  L
) w ) )
401, 2, 8, 39syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  K ) w )  =  ( u ( .r `  L
) w ) )
4138, 40oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) ) )
4236, 41eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) ) )
4322, 42eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  <->  ( u
( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) ) ) )
4410, 11grpcl 15544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  K )  /\  v  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
) )
453, 24, 7, 44syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  e.  ( Base `  K
) )
4645, 6eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B )
4715proplem 14624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  L ) w ) )
481, 46, 8, 47syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  L ) w ) )
4918proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
501, 2, 4, 49syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
5150oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w ) )
5248, 51eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w ) )
5326, 28mndcl 15416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  K )  e.  Mnd  /\  v  e.  ( Base `  K
)  /\  w  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( v
( .r `  K
) w )  e.  ( Base `  K
) )
5423, 7, 9, 53syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  e.  ( Base `  K ) )
5554, 6eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  e.  B )
5618proplem 14624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( .r `  K ) w )  e.  B  /\  (
v ( .r `  K ) w )  e.  B ) )  ->  ( ( u ( .r `  K
) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r
`  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )
571, 34, 55, 56syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r
`  K ) w ) ) )
5815proplem 14624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  =  ( v ( .r `  L
) w ) )
591, 4, 8, 58syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( .r
`  K ) w )  =  ( v ( .r `  L
) w ) )
6040, 59oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r
`  L ) w ) ) )
6157, 60eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r
`  L ) w ) ) )
6252, 61eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) )  <->  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) )
6343, 62anbi12d 705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
6463anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <-> 
( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
6564ralbidva 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( .r `  K
) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
66652ralbidva 2753 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
675adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  B  =  ( Base `  K
) )
6867raleqdv 2921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( .r
`  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( .r `  K
) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
6967, 68raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K
) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r
`  K ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( .r `  K
) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K ) ( v ( .r `  K
) w ) ) ) ) )
7067, 69raleqbidv 2929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K
) ( u ( .r `  K ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( .r
`  K ) w )  =  ( ( u ( .r `  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
71 rngpropd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
7271adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  B  =  ( Base `  L
) )
7372raleqdv 2921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( .r
`  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( .r `  L
) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7472, 73raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L
) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r
`  L ) w ) )  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( .r `  L
) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L ) ( v ( .r `  L
) w ) ) ) ) )
7572, 74raleqbidv 2929 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( .r `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L
) ( u ( .r `  L ) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( .r
`  L ) w )  =  ( ( u ( .r `  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
7666, 70, 753bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd ) )  ->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
7776pm5.32da 636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  K
) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  L
) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
78 df-3an 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e. 
Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K
) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  K
) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
79 df-3an 962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e. 
Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L
) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) )  <->  ( ( K  e.  Grp  /\  (mulGrp `  K )  e.  Mnd )  /\  A. u  e.  ( Base `  L
) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
8077, 78, 793bitr4g 288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
815, 71, 18grppropd 15549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Grp  <->  L  e.  Grp ) )
825, 26syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  K )
) )
83 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  L )  =  (mulGrp `  L )
84 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
8583, 84mgpbas 16587 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  (mulGrp `  L
) )
8671, 85syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  L )
) )
8728oveqi 6103 . . . . . 6  |-  ( x ( .r `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )
88 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
8983, 88mgpplusg 16585 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  L )  =  ( +g  `  (mulGrp `  L ) )
9089oveqi 6103 . . . . . 6  |-  ( x ( .r `  L
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y )
9115, 87, 903eqtr3g 2496 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y ) )
9282, 86, 91mndpropd 15442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  <->  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd )
)
9381, 923anbi12d 1285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
9480, 93bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) ) )
9510, 25, 11, 27isrng 16639 . 2  |-  ( K  e.  Ring  <->  ( K  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  K
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( .r `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  K ) v ) ( +g  `  K ) ( u ( .r `  K
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( .r `  K ) w )  =  ( ( u ( .r
`  K ) w ) ( +g  `  K
) ( v ( .r `  K ) w ) ) ) ) )
96 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
9784, 83, 96, 88isrng 16639 . 2  |-  ( L  e.  Ring  <->  ( L  e. 
Grp  /\  (mulGrp `  L
)  e.  Mnd  /\  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( .r `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  L ) v ) ( +g  `  L ) ( u ( .r `  L
) w ) )  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( .r `  L ) w )  =  ( ( u ( .r
`  L ) w ) ( +g  `  L
) ( v ( .r `  L ) w ) ) ) ) )
9894, 95, 973bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406  mulGrpcmgp 16581   Ringcrg 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-mgp 16582  df-rng 16637
This theorem is referenced by:  crngpropd  16667  rngprop  16668  opprrngb  16714  drngpropd  16839  subrgpropd  16879  rhmpropd  16880  abvpropd  16907  lmodprop2d  16987  sraassa  17374  assapropd  17376  subrgpsr  17469  opsrrng  17675
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