Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngosubdir Structured version   Unicode version

Theorem rngosubdir 31926
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.1
ringsubdi.2
ringsubdi.3
ringsubdi.4
Assertion
Ref Expression
rngosubdir

Proof of Theorem rngosubdir
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.1 . . . . 5
2 ringsubdi.3 . . . . 5
3 eqid 2420 . . . . 5
4 ringsubdi.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4rngosub 31920 . . . 4
76oveq1d 6311 . 2
8 ringsubdi.2 . . . . . . 7
91, 8, 2rngocl 25981 . . . . . 6
1093adant3r2 1215 . . . . 5
111, 8, 2rngocl 25981 . . . . . 6
12113adant3r1 1214 . . . . 5
1310, 12jca 534 . . . 4
141, 2, 3, 4rngosub 31920 . . . . 5
15143expb 1206 . . . 4
1613, 15syldan 472 . . 3
17 idd 25 . . . . . . 7
181, 2, 3rngonegcl 31917 . . . . . . . 8
1918ex 435 . . . . . . 7
20 idd 25 . . . . . . 7
2117, 19, 203anim123d 1342 . . . . . 6
2221imp 430 . . . . 5
231, 8, 2rngodir 25985 . . . . 5
2422, 23syldan 472 . . . 4
251, 8, 2, 3rngoneglmul 31923 . . . . . 6
26253adant3r1 1214 . . . . 5
2726oveq2d 6312 . . . 4
2824, 27eqtr4d 2464 . . 3
2916, 28eqtr4d 2464 . 2
307, 29eqtr4d 2464 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867   crn 4846  cfv 5592  (class class class)co 6296  c1st 6796  c2nd 6797  cgn 25787   cgs 25788  crngo 25974 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-grpo 25790  df-gid 25791  df-ginv 25792  df-gdiv 25793  df-ablo 25881  df-ass 25912  df-exid 25914  df-mgmOLD 25918  df-sgrOLD 25930  df-mndo 25937  df-rngo 25975 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator