Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngosubdi Structured version   Unicode version

Theorem rngosubdi 31638
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.1
ringsubdi.2
ringsubdi.3
ringsubdi.4
Assertion
Ref Expression
rngosubdi

Proof of Theorem rngosubdi
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.1 . . . . 5
2 ringsubdi.3 . . . . 5
3 eqid 2402 . . . . 5
4 ringsubdi.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4rngosub 31633 . . . 4
76oveq2d 6294 . 2
8 ringsubdi.2 . . . . . . 7
91, 8, 2rngocl 25798 . . . . . 6
1093adant3r3 1208 . . . . 5
111, 8, 2rngocl 25798 . . . . . 6
12113adant3r2 1207 . . . . 5
1310, 12jca 530 . . . 4
141, 2, 3, 4rngosub 31633 . . . . 5
15143expb 1198 . . . 4
1613, 15syldan 468 . . 3
17 idd 24 . . . . . . 7
18 idd 24 . . . . . . 7
191, 2, 3rngonegcl 31630 . . . . . . . 8
2019ex 432 . . . . . . 7
2117, 18, 203anim123d 1308 . . . . . 6
2221imp 427 . . . . 5
231, 8, 2rngodi 25801 . . . . 5
2422, 23syldan 468 . . . 4
251, 8, 2, 3rngonegrmul 31637 . . . . . 6
26253adant3r2 1207 . . . . 5
2726oveq2d 6294 . . . 4
2824, 27eqtr4d 2446 . . 3
2916, 28eqtr4d 2446 . 2
307, 29eqtr4d 2446 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   crn 4824  cfv 5569  (class class class)co 6278  c1st 6782  c2nd 6783  cgn 25604   cgs 25605  crngo 25791 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-gdiv 25610  df-ablo 25698  df-ass 25729  df-exid 25731  df-mgmOLD 25735  df-sgrOLD 25747  df-mndo 25754  df-rngo 25792 This theorem is referenced by:  dmncan1  31755
 Copyright terms: Public domain W3C validator