Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngonegmn1l Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rngonegmn1l 32252
 Description: Negation in a ring is the same as left multiplication by . (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneg.1
ringneg.2
ringneg.3
ringneg.4
ringneg.5 GId
Assertion
Ref Expression
rngonegmn1l

Proof of Theorem rngonegmn1l
StepHypRef Expression
1 ringneg.3 . . . . . . 7
2 ringneg.1 . . . . . . . 8
32rneqi 5067 . . . . . . 7
41, 3eqtri 2493 . . . . . 6
5 ringneg.2 . . . . . 6
6 ringneg.5 . . . . . 6 GId
74, 5, 6rngo1cl 26238 . . . . 5
8 ringneg.4 . . . . . . 7
92, 1, 8rngonegcl 32248 . . . . . 6
107, 9mpdan 681 . . . . 5
117, 10jca 541 . . . 4
122, 5, 1rngodir 26195 . . . . . . 7
13123exp2 1251 . . . . . 6
1413imp42 605 . . . . 5
1514an32s 821 . . . 4
1611, 15mpidan 683 . . 3
17 eqid 2471 . . . . . . . 8 GId GId
182, 1, 8, 17rngoaddneg1 32249 . . . . . . 7 GId
197, 18mpdan 681 . . . . . 6 GId
2019adantr 472 . . . . 5 GId
2120oveq1d 6323 . . . 4 GId
2217, 1, 2, 5rngolz 26210 . . . 4 GId GId
2321, 22eqtrd 2505 . . 3 GId
245, 4, 6rngolidm 26233 . . . 4
2524oveq1d 6323 . . 3
2616, 23, 253eqtr3rd 2514 . 2 GId
272, 5, 1rngocl 26191 . . . . . 6
28273expa 1231 . . . . 5
2928an32s 821 . . . 4
3010, 29mpidan 683 . . 3
312rngogrpo 26199 . . . 4
321, 17, 8grpoinvid1 26039 . . . 4 GId
3331, 32syl3an1 1325 . . 3 GId
3430, 33mpd3an3 1391 . 2 GId
3526, 34mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  c2nd 6811  cgr 25995  GIdcgi 25996  cgn 25997  crngo 26184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-ablo 26091  df-ass 26122  df-exid 26124  df-mgmOLD 26128  df-sgrOLD 26140  df-mndo 26147  df-rngo 26185 This theorem is referenced by:  rngoneglmul  32254  idlnegcl  32319
 Copyright terms: Public domain W3C validator