Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngomndo Structured version   Unicode version

Theorem rngomndo 25295
 Description: In a unital ring the multiplication is a monoid. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
unmnd.1
Assertion
Ref Expression
rngomndo MndOp

Proof of Theorem rngomndo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4
2 unmnd.1 . . . 4
3 eqid 2443 . . . 4
41, 2, 3rngosm 25255 . . 3
51, 2, 3rngoass 25261 . . . 4
65ralrimivvva 2865 . . 3
71, 2, 3rngoi 25254 . . . 4
87simprrd 758 . . 3
92, 1rngorn1 25293 . . . 4
10 xpid11 5214 . . . . . . . 8
1110biimpri 206 . . . . . . 7
12 feq23 5706 . . . . . . 7
1311, 12mpancom 669 . . . . . 6
14 raleq 3040 . . . . . . . 8
1514raleqbi1dv 3048 . . . . . . 7
1615raleqbi1dv 3048 . . . . . 6
17 raleq 3040 . . . . . . 7
1817rexeqbi1dv 3049 . . . . . 6
1913, 16, 183anbi123d 1300 . . . . 5
2019eqcoms 2455 . . . 4
219, 20syl 16 . . 3
224, 6, 8, 21mpbir3and 1180 . 2
23 fvex 5866 . . . 4
24 eleq1 2515 . . . 4
2523, 24mpbiri 233 . . 3
26 eqid 2443 . . . 4
2726ismndo1 25218 . . 3 MndOp
282, 25, 27mp2b 10 . 2 MndOp
2922, 28sylibr 212 1 MndOp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794  cvv 3095   cxp 4987   cdm 4989   crn 4990  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  c1st 6783  c2nd 6784  cablo 25155  MndOpcmndo 25211  crngo 25249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fo 5584  df-fv 5586  df-ov 6284  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-grpo 25065  df-ablo 25156  df-ass 25187  df-exid 25189  df-mgmOLD 25193  df-sgrOLD 25205  df-mndo 25212  df-rngo 25250 This theorem is referenced by:  rngoidmlem  25297  rngo1cl  25303  isdrngo2  30336
 Copyright terms: Public domain W3C validator