MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmneg2 Structured version   Unicode version

Theorem rngmneg2 16676
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 9774 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngneglmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngneglmul.n  |-  N  =  ( invg `  R )
rngneglmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
rngneglmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngneglmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
rngmneg2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( N `  Y )
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem rngmneg2
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 rngneglmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3 rngneglmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
4 rnggrp 16638 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
6 rngneglmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
86, 7rngidcl 16653 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
10 rngneglmul.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
116, 10grpinvcl 15574 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
125, 9, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
13 rngneglmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
146, 13rngass 16649 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B ) )  ->  ( ( X 
.x.  Y )  .x.  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
151, 2, 3, 12, 14syl13anc 1220 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( X  .x.  ( Y  .x.  ( N `
 ( 1r `  R ) ) ) ) )
166, 13rngcl 16646 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
171, 2, 3, 16syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
186, 13, 7, 10, 1, 17rngnegr 16674 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( N `  ( X  .x.  Y ) ) )
196, 13, 7, 10, 1, 3rngnegr 16674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( N `  Y ) )
2019oveq2d 6102 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Y  .x.  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( N `  Y )
) )
2115, 18, 203eqtr3rd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( N `  Y )
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   1rcur 16591   Ringcrg 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635
This theorem is referenced by:  rngm2neg  16677  rngsubdi  16678  cntzsubr  16875  abvneg  16897  lflnegcl  32560
  Copyright terms: Public domain W3C validator