MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmneg1 Structured version   Unicode version

Theorem rngmneg1 17038
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg1 9992 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngneglmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngneglmul.n  |-  N  =  ( invg `  R )
rngneglmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
rngneglmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngneglmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
rngmneg1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  Y
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem rngmneg1
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 rnggrp 17000 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4 rngneglmul.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
64, 5rngidcl 17015 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
8 rngneglmul.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
94, 8grpinvcl 15902 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
103, 7, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
11 rngneglmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 rngneglmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
13 rngneglmul.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
144, 13rngass 17011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( X  .x.  Y ) ) )
151, 10, 11, 12, 14syl13anc 1230 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( X  .x.  Y ) ) )
164, 13, 5, 8, 1, 11rngnegl 17036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) )  .x.  X )  =  ( N `  X ) )
1716oveq1d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  R ) )  .x.  X )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  X ) 
.x.  Y ) )
184, 13rngcl 17008 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
191, 11, 12, 18syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
204, 13, 5, 8, 1, 19rngnegl 17036 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( X 
.x.  Y ) )  =  ( N `  ( X  .x.  Y ) ) )
2115, 17, 203eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  Y
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   .rcmulr 14555   Grpcgrp 15726   invgcminusg 15727   1rcur 16952   Ringcrg 16995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997
This theorem is referenced by:  rngm2neg  17040  rngsubdir  17042  mulgass2  17043  cntzsubr  17256  mdetunilem7  18903
  Copyright terms: Public domain W3C validator