MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmnd Structured version   Unicode version

Theorem rngmnd 16780
Description: A ring is a monoid under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rngmnd  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )

Proof of Theorem rngmnd
StepHypRef Expression
1 rnggrp 16776 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 grpmnd 15672 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  R  e.  Mnd )
31, 2syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   Mndcmnd 15531   Grpcgrp 15532   Ringcrg 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-iota 5492  df-fv 5537  df-ov 6206  df-grp 15667  df-rng 16773
This theorem is referenced by:  gsummulc1  16821  gsummulc2  16822  gsummulc1OLD  16823  gsummulc2OLD  16824  gsummgp0  16825  prdsrngd  16830  pwsco1rhm  16952  psrlidm  17600  psrlidmOLD  17601  psrridm  17602  psrridmOLD  17603  mplsubrglem  17644  mplsubrglemOLD  17645  mplmonmul  17670  evlslem2  17724  evlslem3  17727  coe1tmmul2  17856  coe1tmmul  17857  evls1gsumadd  17887  cnfldmulg  17976  cnsubmlem  17989  gsumfsum  18007  nn0srg  18009  rge0srg  18010  zring0  18021  zrng0  18027  re0g  18170  uvcresum  18346  mamulid  18432  mamurid  18433  mamudi  18435  mamudir  18436  1mavmul  18489  mulmarep1gsum1  18514  mdet0pr  18533  m1detdiag  18538  mdetdiag  18540  mdet0  18547  m2detleib  18572  maducoeval2  18581  madugsum  18584  smadiadetlem1a  18604  smadiadetlem3  18609  smadiadet  18611  tdeglem4  21665  tdeglem2  21666  mdegmullem  21685  coe1mul3  21707  plypf1  21816  tayl0  21963  jensen  22518  amgmlem  22519  suborng  26448  xrge0slmod  26477  zringnm  26553  zzsnmOLD  26555  cnzh  26564  rezh  26565  mgpsumz  30928  lmodvsmmulgdi  30988  gsummoncoe1  31016  ply1mulgsumlem2  31019  cply1mul  31025  mat1dimmul  31058  dmatmul  31075  cpmatmcllem  31227  mat2pmatghm  31239  mat2pmatmul  31240  pmatcollpw3fi1lem1  31293  idpm2idmp  31308  mp2pm2mplem4  31316  pm2mpghm  31323  monmat2matmon  31330  pm2mp  31331  chfacfscmulgsum  31366  chfacfpmmulgsum  31370  cpmadugsumlemF  31382  cayhamlem4  31395
  Copyright terms: Public domain W3C validator