MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngm2neg Structured version   Unicode version

Theorem rngm2neg 17030
Description: Double negation of a product in a ring. (mul2neg 9992 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngneglmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngneglmul.n  |-  N  =  ( invg `  R )
rngneglmul.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
rngneglmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngneglmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
rngm2neg  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.x.  Y ) )

Proof of Theorem rngm2neg
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 rngneglmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 rngneglmul.n . . 3  |-  N  =  ( invg `  R )
4 rngneglmul.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rngneglmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
6 rnggrp 16991 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
8 rngneglmul.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
91, 3grpinvcl 15896 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  Y  e.  B )  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
107, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 10rngmneg1 17028 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  ( N `  Y )
)  =  ( N `
 ( X  .x.  ( N `  Y ) ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 8rngmneg2 17029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( N `  Y )
)  =  ( N `
 ( X  .x.  Y ) ) )
1312fveq2d 5868 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( X  .x.  ( N `  Y ) ) )  =  ( N `  ( N `  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
141, 2rngcl 16999 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
154, 5, 8, 14syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  B )
161, 3grpinvinv 15906 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  .x.  Y )  e.  B )  -> 
( N `  ( N `  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( X  .x.  Y ) )
177, 15, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( N `  ( X  .x.  Y ) ) )  =  ( X  .x.  Y ) )
1811, 13, 173eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  .x.  ( N `  Y )
)  =  ( X 
.x.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724   Ringcrg 16986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988
This theorem is referenced by:  orngsqr  27457
  Copyright terms: Public domain W3C validator