Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnginvval Structured version   Unicode version

Theorem rnginvval 26265
Description: The ring inverse expressed in terms of multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rnginvval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rnginvval.p  |-  .*  =  ( .r `  R )
rnginvval.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
rnginvval.n  |-  N  =  ( invr `  R
)
rnginvval.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
rnginvval  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X )  =  .1.  ) )
Distinct variable groups:    y, R    y, U    y, X
Allowed substitution hints:    B( y)    .1. ( y)    .* ( y)    N( y)

Proof of Theorem rnginvval
StepHypRef Expression
1 rnginvval.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( (mulGrp `  R )s  U )  =  ( (mulGrp `  R )s  U
)
31, 2unitgrpbas 16763 . . . 4  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
4 fvex 5706 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  e.  _V
51, 4eqeltri 2513 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
6 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
7 rnginvval.p . . . . . . 7  |-  .*  =  ( .r `  R )
86, 7mgpplusg 16600 . . . . . 6  |-  .*  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
92, 8ressplusg 14285 . . . . 5  |-  ( U  e.  _V  ->  .*  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
105, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  .*  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  U ) )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  R )s  U
) )
12 rnginvval.n . . . . 5  |-  N  =  ( invr `  R
)
131, 2, 12invrfval 16770 . . . 4  |-  N  =  ( invg `  ( (mulGrp `  R )s  U
) )
143, 10, 11, 13grpinvval 15582 . . 3  |-  ( X  e.  U  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) ) )
1514adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) ) )
16 rnginvval.o . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
171, 2, 16unitgrpid 16766 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  U )  ->  .1.  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U
) ) )
1918eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  U )  ->  (
( y  .*  X
)  =  .1.  <->  ( y  .*  X )  =  ( 0g `  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) ) )
2019riotabidva 6074 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X )  =  .1.  )  =  (
iota_ y  e.  U  ( y  .*  X
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) ) )
2120adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X )  =  .1.  )  =  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  R )s  U ) ) ) )
2215, 21eqtr4d 2478 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  U )  ->  ( N `  X )  =  ( iota_ y  e.  U  ( y  .*  X )  =  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   ` cfv 5423   iota_crio 6056  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383  mulGrpcmgp 16596   1rcur 16608   Ringcrg 16650  Unitcui 16736   invrcinvr 16768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator