MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidval Unicode version

Theorem rngidval 15359
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
rngidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidval  |-  .1.  =  ( 0g `  G )

Proof of Theorem rngidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 15358 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
21fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
3 fnmgp 15343 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
4 fvco2 5610 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
53, 4mpan 651 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
62, 5syl5eq 2340 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
7 0g0 14402 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
8 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  (/) )
9 fvprc 5535 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
109fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )  =  ( 0g `  (/) ) )
117, 8, 103eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
126, 11pm2.61i 156 . 2  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
13 rngidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
14 rngidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5544 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
1612, 13, 153eqtr4i 2326 1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   0gc0g 13416  mulGrpcmgp 15341   1rcur 15355
This theorem is referenced by:  dfur2  15360  rngidcl  15377  rngidmlem  15379  isrngid  15382  prds1  15413  oppr1  15432  unitsubm  15468  rngidpropd  15493  dfrhm2  15514  isrhm2d  15522  rhm1  15524  subrgsubm  15574  issubrg3  15589  mplcoe3  16226  mplcoe2  16227  mplbas2  16228  ply1scltm  16373  cnfldexp  16423  expmhm  16465  evlslem1  19415  amgmlem  20300  amgm  20301  wilthlem2  20323  wilthlem3  20324  dchrelbas3  20493  dchrzrh1  20499  dchrmulcl  20504  dchrn0  20505  dchrinvcl  20508  dchrfi  20510  dchrabs  20515  sumdchr2  20525  rpvmasum2  20677  iistmd  23301  isdomn3  27625  mon1psubm  27627  deg1mhm  27628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5877  df-slot 13168  df-base 13169  df-0g 13420  df-mgp 15342  df-ur 15358
  Copyright terms: Public domain W3C validator