MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidval Structured version   Unicode version

Theorem rngidval 16608
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
rngidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidval  |-  .1.  =  ( 0g `  G )

Proof of Theorem rngidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 16607 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
21fveq1i 5695 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
3 fnmgp 16596 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
4 fvco2 5769 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
53, 4mpan 670 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
62, 5syl5eq 2487 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
7 0g0 15437 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
8 fvprc 5688 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  (/) )
9 fvprc 5688 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
109fveq2d 5698 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )  =  ( 0g `  (/) ) )
117, 8, 103eqtr4a 2501 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
126, 11pm2.61i 164 . 2  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
13 rngidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
14 rngidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5697 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
1612, 13, 153eqtr4i 2473 1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975   (/)c0 3640    o. ccom 4847    Fn wfn 5416   ` cfv 5421   0gc0g 14381  mulGrpcmgp 16594   1rcur 16606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-fv 5429  df-ov 6097  df-slot 14181  df-base 14182  df-0g 14383  df-mgp 16595  df-ur 16607
This theorem is referenced by:  dfur2  16609  srgidcl  16622  srgidmlem  16624  issrgid  16627  srgpcomp  16634  srgbinom  16646  rngidcl  16668  rngidmlem  16670  isrngid  16673  prds1  16709  oppr1  16729  unitsubm  16765  rngidpropd  16790  dfrhm2  16811  isrhm2d  16821  rhm1  16823  subrgsubm  16881  issubrg3  16896  mplcoe3  17548  mplcoe3OLD  17549  mplcoe5  17551  mplcoe2OLD  17553  mplbas2  17554  mplbas2OLD  17555  evlslem1  17604  ply1scltm  17737  evls1gsummul  17763  evl1gsummul  17797  cnfldexp  17852  expmhm  17883  nn0srg  17884  rge0srg  17885  madetsumid  18349  mdet0pr  18406  mdet1  18411  mdetunilem7  18427  smadiadetlem4  18478  amgmlem  22386  amgm  22387  wilthlem2  22410  wilthlem3  22411  dchrelbas3  22580  dchrzrh1  22586  dchrmulcl  22591  dchrn0  22592  dchrinvcl  22595  dchrfi  22597  dchrabs  22602  sumdchr2  22612  rpvmasum2  22764  iistmd  26335  isdomn3  29575  mon1psubm  29577  deg1mhm  29578  assamulgscmlem1  30823  lply1binomsc  30855  pmattomply1mhm  30933
  Copyright terms: Public domain W3C validator