MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidval Unicode version

Theorem rngidval 15595
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidval.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
rngidval.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidval  |-  .1.  =  ( 0g `  G )

Proof of Theorem rngidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 15594 . . . . 5  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
21fveq1i 5671 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp ) `
 R )
3 fnmgp 15579 . . . . 5  |- mulGrp  Fn  _V
4 fvco2 5739 . . . . 5  |-  ( (mulGrp 
Fn  _V  /\  R  e. 
_V )  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( 0g  o. mulGrp ) `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
62, 5syl5eq 2433 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
7 0g0 14638 . . . 4  |-  (/)  =  ( 0g `  (/) )
8 fvprc 5664 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  (/) )
9 fvprc 5664 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
109fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )  =  ( 0g `  (/) ) )
117, 8, 103eqtr4a 2447 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) ) )
126, 11pm2.61i 158 . 2  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
13 rngidval.u . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
14 rngidval.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
1514fveq2i 5673 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
1612, 13, 153eqtr4i 2419 1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   (/)c0 3573    o. ccom 4824    Fn wfn 5391   ` cfv 5396   0gc0g 13652  mulGrpcmgp 15577   1rcur 15591
This theorem is referenced by:  dfur2  15596  rngidcl  15613  rngidmlem  15615  isrngid  15618  prds1  15649  oppr1  15668  unitsubm  15704  rngidpropd  15729  dfrhm2  15750  isrhm2d  15758  rhm1  15760  subrgsubm  15810  issubrg3  15825  mplcoe3  16458  mplcoe2  16459  mplbas2  16460  ply1scltm  16602  cnfldexp  16659  expmhm  16701  evlslem1  19805  amgmlem  20697  amgm  20698  wilthlem2  20721  wilthlem3  20722  dchrelbas3  20891  dchrzrh1  20897  dchrmulcl  20902  dchrn0  20903  dchrinvcl  20906  dchrfi  20908  dchrabs  20913  sumdchr2  20923  rpvmasum2  21075  iistmd  24106  isdomn3  27194  mon1psubm  27196  deg1mhm  27197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-fv 5404  df-ov 6025  df-slot 13402  df-base 13403  df-0g 13656  df-mgp 15578  df-ur 15594
  Copyright terms: Public domain W3C validator