MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidpropd Structured version   Unicode version

Theorem rngidpropd 16777
Description: The ring identity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
rngidpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
rngidpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
rngidpropd  |-  ( ph  ->  ( 1r `  K
)  =  ( 1r
`  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem rngidpropd
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  (mulGrp `  K )  =  (mulGrp `  K )
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
42, 3mgpbas 16587 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (mulGrp `  K
) )
51, 4syl6eq 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  K )
) )
6 rngidpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
7 eqid 2441 . . . . 5  |-  (mulGrp `  L )  =  (mulGrp `  L )
8 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
97, 8mgpbas 16587 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  (mulGrp `  L
) )
106, 9syl6eq 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  L )
) )
11 rngidpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
12 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
132, 12mgpplusg 16585 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( +g  `  (mulGrp `  K ) )
1413oveqi 6103 . . . 4  |-  ( x ( .r `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )
15 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
167, 15mgpplusg 16585 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( +g  `  (mulGrp `  L ) )
1716oveqi 6103 . . . 4  |-  ( x ( .r `  L
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y )
1811, 14, 173eqtr3g 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y ) )
195, 10, 18grpidpropd 15443 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (mulGrp `  K ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  L ) ) )
20 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 1r `  K
)
212, 20rngidval 16595 . 2  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 0g `  (mulGrp `  K ) )
22 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 1r `  L
)
237, 22rngidval 16595 . 2  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 0g `  (mulGrp `  L ) )
2419, 21, 233eqtr4g 2498 1  |-  ( ph  ->  ( 1r `  K
)  =  ( 1r
`  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374  mulGrpcmgp 16581   1rcur 16593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mgp 16582  df-ur 16594
This theorem is referenced by:  unitpropd  16779  subrgpropd  16879  lmodprop2d  16987  opsr1  17649  ply1mpl1  17686  zlm1  26328  hlhils1N  35316
  Copyright terms: Public domain W3C validator