MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidpropd Structured version   Unicode version

Theorem rngidpropd 16905
Description: The ring identity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
rngidpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
rngidpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
rngidpropd  |-  ( ph  ->  ( 1r `  K
)  =  ( 1r
`  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem rngidpropd
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 eqid 2452 . . . . 5  |-  (mulGrp `  K )  =  (mulGrp `  K )
3 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
42, 3mgpbas 16714 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (mulGrp `  K
) )
51, 4syl6eq 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  K )
) )
6 rngidpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
7 eqid 2452 . . . . 5  |-  (mulGrp `  L )  =  (mulGrp `  L )
8 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
97, 8mgpbas 16714 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  (mulGrp `  L
) )
106, 9syl6eq 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (mulGrp `  L )
) )
11 rngidpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
12 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
132, 12mgpplusg 16712 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( +g  `  (mulGrp `  K ) )
1413oveqi 6208 . . . 4  |-  ( x ( .r `  K
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )
15 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
167, 15mgpplusg 16712 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( +g  `  (mulGrp `  L ) )
1716oveqi 6208 . . . 4  |-  ( x ( .r `  L
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y )
1811, 14, 173eqtr3g 2516 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  K )
) y )  =  ( x ( +g  `  (mulGrp `  L )
) y ) )
195, 10, 18grpidpropd 15561 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (mulGrp `  K ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  L ) ) )
20 eqid 2452 . . 3  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 1r `  K
)
212, 20rngidval 16722 . 2  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 0g `  (mulGrp `  K ) )
22 eqid 2452 . . 3  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 1r `  L
)
237, 22rngidval 16722 . 2  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 0g `  (mulGrp `  L ) )
2419, 21, 233eqtr4g 2518 1  |-  ( ph  ->  ( 1r `  K
)  =  ( 1r
`  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353   0gc0g 14492  mulGrpcmgp 16708   1rcur 16720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-mgp 16709  df-ur 16721
This theorem is referenced by:  unitpropd  16907  subrgpropd  17017  lmodprop2d  17125  opsr1  17792  ply1mpl1  17829  zlm1  26532  hlhils1N  35913
  Copyright terms: Public domain W3C validator