MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Structured version   Unicode version

Theorem rngidcl 16771
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 16757 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 16702 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 16710 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 15541 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516   Basecbs 14276   Mndcmnd 15511  mulGrpcmgp 16696   1rcur 16708   Ringcrg 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753
This theorem is referenced by:  rngcom  16779  rngnegl  16791  rngnegr  16792  rngmneg1  16793  rngmneg2  16794  imasrng  16817  opprrng  16829  dvdsrid  16849  dvdsrneg  16852  1unit  16856  rnginvdv  16892  isdrng2  16948  isdrngd  16963  subrgid  16973  abv1z  17023  abvneg  17025  srng1  17050  issrngd  17052  lmod1cl  17081  lmodvsneg  17095  lmodsubvs  17107  lmodsubdi  17108  lmodsubdir  17109  lmodprop2d  17113  lssvnegcl  17143  prdslmodd  17156  lmodvsinv  17223  islmhm2  17225  lbsind2  17268  lspsneq  17309  lspexch  17316  lidl1el  17406  rsp1  17412  lpi1  17436  isnzr2  17451  fidomndrnglem  17484  asclf  17514  asclghm  17515  asclmul1  17516  asclmul2  17517  asclrhm  17518  rnascl  17519  psrlmod  17578  psr1cl  17579  mvrf  17604  mplsubrg  17626  mplmon  17649  mplmonmul  17650  mplcoe1  17651  mplind  17691  evlslem1  17708  coe1pwmul  17840  ply1scl0  17851  ply1scl1  17853  mulgrhm  18035  mulgrhmOLD  18038  chrcl  18066  chrid  18067  chrdvds  18068  chrcong  18069  zncyg  18090  zrhpsgnelbas  18133  uvcvvcl2  18322  uvcff  18325  lindfind2  18356  mamudiagcl  18411  mat1bas  18447  matsc  18452  mdet0pr  18514  mdet1  18523  mdetunilem8  18541  mdetunilem9  18542  mdetuni0  18543  mdetmul  18545  m2detleiblem5  18547  m2detleiblem6  18548  maducoeval2  18562  maduf  18563  madutpos  18564  madugsum  18565  madulid  18567  minmar1marrep  18572  minmar1cl  18573  marep01ma  18582  smadiadetglem1  18593  smadiadetglem2  18594  matinv  18599  tlmtgp  19886  nrginvrcnlem  20387  cvsmuleqdivd  20799  cphsubrglem  20812  deg1pwle  21707  deg1pw  21708  ply1nz  21709  ply1remlem  21750  dchrmulcl  22704  dchrinv  22716  dchrhash  22726  lgsqrlem1  22796  lgsqrlem2  22797  lgsqrlem3  22798  lgsqrlem4  22799  orng0le1  26414  ofldchr  26416  suborng  26417  isarchiofld  26419  elrhmunit  26422  zrhnm  26532  zrhchr  26539  qqh1  26548  qqhucn  26555  mendlmod  29688  idomodle  29699  isdomn3  29710  mon1pid  29711  mon1psubm  29712  deg1mhm  29713  mgpsumn  30899  isnzr2hash  30912  0rng01eq  30914  ascl0  30959  ascl1  30960  assamulgscmlem1  30964  ply1idvr1  30969  ply1sclrmsm  30971  coe1id  30976  evl1at1  30996  lply1binomsc  30998  scmatel  31010  scmatscmid  31011  scmatscmidr  31012  mat0dimid  31018  dmatid  31028  scmatid  31036  linc0scn0  31064  linc1  31066  islindeps2  31124  lmod1lem5  31140  1elcpmat  31178  mat2pmat1  31195  pmatcollpw1id  31226  pmatcollpwscmatlem2  31246  pmatcollpwscmatlem3  31247  idpmattoidmply1  31260  chmacl  31282  matcpmatval  31287  cpmat1dlem  31289  cpmat1d  31290  cpdmatlem0  31291  cpdmatlem2  31293  cpdmatlem3  31294  cpidmat  31301  cpmidgsumm2pm  31323  cpmidpmatlem2  31325  cpmidpmatlem3  31326  cpmadugsumlemB  31328  cpmadugsumfi  31331  cpmidgsum2  31333  chcoeffeqlem  31340  lflsub  33018  eqlkr  33050  eqlkr3  33052  lduallmodlem  33103  ldualvsubcl  33107  ldualvsubval  33108  dochfl1  35427  lcfrlem2  35494  lcdvsubval  35569  mapdpglem30  35653  hgmapval1  35847  hdmapglem5  35876
  Copyright terms: Public domain W3C validator