MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Unicode version

Theorem rngidcl 15639
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15625 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15609 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 15621 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 14669 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   Basecbs 13424   Mndcmnd 14639  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   1rcur 15617
This theorem is referenced by:  rngcom  15647  rngnegl  15658  rngnegr  15659  rngmneg1  15660  rngmneg2  15661  imasrng  15680  opprrng  15691  dvdsrid  15711  dvdsrneg  15714  1unit  15718  rnginvdv  15754  isdrng2  15800  isdrngd  15815  subrgid  15825  abv1z  15875  abvneg  15877  srng1  15902  issrngd  15904  lmod1cl  15932  lmodvsneg  15943  lmodsubvs  15955  lmodsubdi  15956  lmodsubdir  15957  lmodprop2d  15961  lssvnegcl  15987  prdslmodd  16000  lmodvsinv  16067  islmhm2  16069  lbsind2  16108  lspsneq  16149  lspexch  16156  lidl1el  16244  rsp1  16250  lpi1  16274  isnzr2  16289  fidomndrnglem  16321  asclf  16351  asclghm  16352  asclmul1  16353  asclmul2  16354  asclrhm  16355  rnascl  16356  psrlmod  16420  psr1cl  16421  mvrf  16443  mplsubrg  16458  mplmon  16481  mplmonmul  16482  mplcoe1  16483  mplind  16517  coe1pwmul  16626  ply1scl0  16636  ply1scl1  16638  mulgrhm  16742  chrcl  16762  chrid  16763  chrdvds  16764  chrcong  16765  zncyg  16784  tlmtgp  18178  nrginvrcnlem  18679  cphsubrglem  19093  evlslem1  19889  deg1pwle  19995  deg1pw  19996  ply1nz  19997  ply1remlem  20038  dchrmulcl  20986  dchrinv  20998  dchrhash  21008  lgsqrlem1  21078  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem3  21080  lgsqrlem4  21081  ofld0le1  24195  ofldchr  24197  elrhmunit  24211  zrhnm  24306  zrhchr  24313  qqh1  24322  qqhucn  24329  uvcvvcl2  27105  uvcff  27108  lindfind2  27156  mamudiagcl  27325  mendlmod  27369  idomodle  27380  isdomn3  27391  mon1pid  27392  mon1psubm  27393  deg1mhm  27394  lflsub  29550  eqlkr  29582  eqlkr3  29584  lduallmodlem  29635  ldualvsubcl  29639  ldualvsubval  29640  dochfl1  31959  lcfrlem2  32026  lcdvsubval  32101  mapdpglem30  32185  hgmapval1  32379  hdmapglem5  32408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620
  Copyright terms: Public domain W3C validator