MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Structured version   Unicode version

Theorem rngidcl 16999
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 16985 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 16930 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 16938 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 15745 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579   Basecbs 14479   Mndcmnd 15715  mulGrpcmgp 16924   1rcur 16936   Ringcrg 16979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981
This theorem is referenced by:  rngcom  17007  rngnegl  17019  rngnegr  17020  rngmneg1  17021  rngmneg2  17022  imasrng  17045  opprrng  17057  dvdsrid  17077  dvdsrneg  17080  1unit  17084  rnginvdv  17120  isdrng2  17182  isdrngd  17197  subrgid  17207  abv1z  17257  abvneg  17259  srng1  17284  issrngd  17286  lmod1cl  17315  lmodvsneg  17330  lmodsubvs  17342  lmodsubdi  17343  lmodsubdir  17344  lmodprop2d  17348  lssvnegcl  17378  prdslmodd  17391  lmodvsinv  17458  islmhm2  17460  lbsind2  17503  lspsneq  17544  lspexch  17551  lidl1el  17641  rsp1  17647  lpi1  17671  isnzr2  17686  fidomndrnglem  17719  asclf  17750  asclghm  17751  asclmul1  17752  asclmul2  17753  asclrhm  17755  rnascl  17756  assamulgscmlem1  17761  psrlmod  17818  psr1cl  17819  mvrf  17844  mplsubrg  17866  mplmon  17889  mplmonmul  17890  mplcoe1  17891  mplind  17931  evlslem1  17948  coe1pwmul  18084  ply1scl0  18095  ply1scl1  18097  ply1idvr1  18098  lply1binomsc  18113  mulgrhm  18292  mulgrhmOLD  18295  chrcl  18323  chrid  18324  chrdvds  18325  chrcong  18326  zncyg  18347  zrhpsgnelbas  18390  uvcvvcl2  18579  uvcff  18582  lindfind2  18613  mamumat1cl  18701  mat1bas  18711  matsc  18712  mat0dimid  18730  mat1mhm  18746  dmatid  18757  scmatscmide  18769  scmatscmiddistr  18770  scmatmats  18773  scmatscm  18775  scmatid  18776  scmataddcl  18778  scmatsubcl  18779  scmatmulcl  18780  smatvscl  18786  scmatrhmcl  18790  scmatf1  18793  scmatmhm  18796  mat0scmat  18800  mat1scmat  18801  mdet0pr  18854  mdet1  18863  mdetunilem8  18881  mdetunilem9  18882  mdetuni0  18883  mdetmul  18885  m2detleiblem5  18887  m2detleiblem6  18888  maducoeval2  18902  maduf  18903  madutpos  18904  madugsum  18905  madulid  18907  minmar1marrep  18912  minmar1cl  18913  marep01ma  18922  smadiadetglem1  18933  smadiadetglem2  18934  matinv  18939  1pmatscmul  18963  1elcpmat  18976  mat2pmat1  18993  decpmatid  19031  idpm2idmp  19062  chmatcl  19089  chmatval  19090  chpmat1dlem  19096  chpmat1d  19097  chpdmatlem0  19098  chpdmatlem2  19100  chpdmatlem3  19101  chpidmat  19108  chmaidscmat  19109  cpmidgsumm2pm  19130  cpmidpmatlem2  19132  cpmidpmatlem3  19133  cpmadugsumlemB  19135  cpmadugsumfi  19138  cpmidgsum2  19140  chcoeffeqlem  19146  tlmtgp  20426  nrginvrcnlem  20927  cvsmuleqdivd  21339  cphsubrglem  21352  deg1pwle  22248  deg1pw  22249  ply1nz  22250  ply1remlem  22291  dchrmulcl  23245  dchrinv  23257  dchrhash  23267  lgsqrlem1  23337  lgsqrlem2  23338  lgsqrlem3  23339  lgsqrlem4  23340  orng0le1  27315  ofldchr  27317  suborng  27318  isarchiofld  27320  elrhmunit  27323  zrhnm  27436  zrhchr  27443  qqh1  27452  qqhucn  27459  mendlmod  30600  idomodle  30611  isdomn3  30622  mon1pid  30623  mon1psubm  30624  deg1mhm  30625  mgpsumn  31892  isnzr2hash  31902  0rng01eq  31904  ascl0  31925  ascl1  31926  ply1sclrmsm  31931  coe1id  31932  evl1at1  31940  linc0scn0  31972  linc1  31974  islindeps2  32032  lmod1lem5  32048  lflsub  33739  eqlkr  33771  eqlkr3  33773  lduallmodlem  33824  ldualvsubcl  33828  ldualvsubval  33829  dochfl1  36148  lcfrlem2  36215  lcdvsubval  36290  mapdpglem30  36374  hgmapval1  36568  hdmapglem5  36597
  Copyright terms: Public domain W3C validator