MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidcl Structured version   Unicode version

Theorem rngidcl 16601
Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidcl.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngidcl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem rngidcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 16587 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngidcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 16571 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngidcl.u . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
61, 5rngidval 16583 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndidcl 15422 . 2  |-  ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  ->  .1.  e.  B )
82, 7syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406   Basecbs 14157   Mndcmnd 15392  mulGrpcmgp 16565   Ringcrg 16577   1rcur 16579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-ur 16582
This theorem is referenced by:  rngcom  16609  rngnegl  16620  rngnegr  16621  rngmneg1  16622  rngmneg2  16623  imasrng  16646  opprrng  16657  dvdsrid  16677  dvdsrneg  16680  1unit  16684  rnginvdv  16720  isdrng2  16766  isdrngd  16781  subrgid  16791  abv1z  16841  abvneg  16843  srng1  16868  issrngd  16870  lmod1cl  16899  lmodvsneg  16913  lmodsubvs  16925  lmodsubdi  16926  lmodsubdir  16927  lmodprop2d  16931  lssvnegcl  16959  prdslmodd  16972  lmodvsinv  17039  islmhm2  17041  lbsind2  17084  lspsneq  17125  lspexch  17132  lidl1el  17222  rsp1  17228  lpi1  17252  isnzr2  17267  fidomndrnglem  17300  asclf  17330  asclghm  17331  asclmul1  17332  asclmul2  17333  asclrhm  17334  rnascl  17335  psrlmod  17406  psr1cl  17407  mvrf  17431  mplsubrg  17453  mplmon  17476  mplmonmul  17477  mplcoe1  17478  mplind  17516  coe1pwmul  17630  ply1scl0  17640  ply1scl1  17642  mulgrhm  17768  mulgrhmOLD  17771  chrcl  17799  chrid  17800  chrdvds  17801  chrcong  17802  zncyg  17823  zrhpsgnelbas  17866  uvcvvcl2  18055  uvcff  18058  lindfind2  18089  mamudiagcl  18144  mat1bas  18178  matsc  18183  mdet0pr  18245  mdet1  18250  mdetunilem8  18267  mdetunilem9  18268  mdetuni0  18269  mdetmul  18271  m2detleiblem5  18273  m2detleiblem6  18274  maducoeval2  18288  maduf  18289  madutpos  18290  madugsum  18291  madulid  18293  minmar1marrep  18298  minmar1cl  18299  marep01ma  18308  smadiadetglem1  18319  smadiadetglem2  18320  matinv  18325  tlmtgp  19612  nrginvrcnlem  20113  cvsmuleqdivd  20525  cphsubrglem  20538  evlslem1  21367  deg1pwle  21476  deg1pw  21477  ply1nz  21478  ply1remlem  21519  dchrmulcl  22473  dchrinv  22485  dchrhash  22495  lgsqrlem1  22565  lgsqrlem2  22566  lgsqrlem3  22567  lgsqrlem4  22568  orng0le1  26133  ofldchr  26135  suborng  26136  isarchiofld  26138  elrhmunit  26141  zrhnm  26252  zrhchr  26259  qqh1  26268  qqhucn  26275  mendlmod  29395  idomodle  29406  isdomn3  29417  mon1pid  29418  mon1psubm  29419  deg1mhm  29420  mgpsumn  30595  isnzr2hash  30605  0rng01eq  30607  ascl0  30626  ascl1  30627  coe1id  30630  evl1at1  30632  mat0dimid  30644  linc0scn0  30666  linc1  30668  islindeps2  30726  lmod1lem5  30742  lflsub  32285  eqlkr  32317  eqlkr3  32319  lduallmodlem  32370  ldualvsubcl  32374  ldualvsubval  32375  dochfl1  34694  lcfrlem2  34761  lcdvsubval  34836  mapdpglem30  34920  hgmapval1  35114  hdmapglem5  35143
  Copyright terms: Public domain W3C validator