MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngelnzr Structured version   Unicode version

Theorem rngelnzr 17690
Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngelnzr.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
rngelnzr.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
rngelnzr  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  R  e. NzRing )

Proof of Theorem rngelnzr
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  R  e.  Ring )
2 eldifsni 4148 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
32adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  X  =/=  .0.  )
4 eldifi 3621 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  B )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  X  e.  B )
6 rngelnzr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 rngelnzr.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
86, 7rng0cl 17002 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  .0.  e.  B )
10 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
116, 10, 7rng1eq0 17020 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  .0.  ->  X  =  .0.  ) )
121, 5, 9, 11syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( 1r `  R )  =  .0. 
->  X  =  .0.  ) )
1312necon3d 2686 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  =/=  .0.  ->  ( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
)
143, 13mpd 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
1510, 7isnzr 17684 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  .0.  )
)
161, 14, 15sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  R  e. NzRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    \ cdif 3468   {csn 4022   ` cfv 5581   Basecbs 14481   0gc0g 14686   1rcur 16938   Ringcrg 16981  NzRingcnzr 17682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-nzr 17683
This theorem is referenced by:  frlmlbs  18593  ply1nz  22252
  Copyright terms: Public domain W3C validator