MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcmn Structured version   Unicode version

Theorem rngcmn 16793
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rngcmn  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)

Proof of Theorem rngcmn
StepHypRef Expression
1 rngabl 16792 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2 ablcmn 16399 . 2  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. CMnd
)
31, 2syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  CMndccmn 16393   Abelcabel 16394   Ringcrg 16763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765
This theorem is referenced by:  rngsrg  16801  gsummulc1  16813  gsummulc2  16814  gsummulc1OLD  16815  gsummulc2OLD  16816  gsumdixpOLD  16818  gsumdixp  16819  psrmulcllem  17576  psrlidm  17592  psrlidmOLD  17593  psrridm  17594  psrridmOLD  17595  psrass1  17596  psrdi  17597  psrdir  17598  psrcom  17600  mplmonmul  17662  mplcoe1  17663  evlslem2  17716  evlslem1  17720  psropprmul  17811  coe1mul2  17841  evls1gsumadd  17879  evl1gsumdlem  17910  gsumfsum  17999  nn0srg  18001  rge0srg  18002  regsumsupp  18172  ip2di  18190  frlmphl  18326  mamucl  18421  mamuass  18426  mamudi  18427  mamudir  18428  mavmulcl  18480  mavmulass  18482  mdetleib2  18521  mdetf  18528  mdetrlin  18535  mdetralt  18541  m2detleib  18564  madugsum  18576  smadiadetlem3lem2  18600  smadiadet  18603  tdeglem1  21655  tdeglem3  21656  tdeglem4  21657  plypf1  21808  taylfvallem  21951  taylf  21954  tayl0  21955  taylpfval  21958  jensenlem1  22508  jensenlem2  22509  jensen  22510  amgm  22512  ofldchr  26422  coe1fzgsumdlem  30985  gsumsmonply1  30990  gsummoncoe1  30991  ply1mulgsum  30997  lply1binom  31004  mat1dimmul  31033  dmatmul  31037  mat2pmatmul  31202  m2pmfzgsumcl  31227  decpmatmul  31241  pmatcollpw1  31245  pmatcollpwfi  31251  pmatcollpw3fi1lem1  31254  pm2mpcl  31265  mply1topmatcl  31273  mp2pm2mplem2  31275  mp2pm2mplem4  31277  mp2pm2mp  31279  pm2mpghm  31284  pm2mpmhmlem2  31287  pm2mp  31292  chfacfscmulgsum  31327  chfacfpmmulgsum  31331  cpmadugsumlemF  31343  cpmadugsumfi  31344  cayhamlem4  31356  lfladdcl  33035
  Copyright terms: Public domain W3C validator