MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcmn Structured version   Unicode version

Theorem rngcmn 16665
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rngcmn  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)

Proof of Theorem rngcmn
StepHypRef Expression
1 rngabl 16664 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2 ablcmn 16276 . 2  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. CMnd
)
31, 2syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761  CMndccmn 16270   Abelcabel 16271   Ringcrg 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637
This theorem is referenced by:  rngsrg  16673  gsummulc1  16685  gsummulc2  16686  gsummulc1OLD  16687  gsummulc2OLD  16688  gsumdixpOLD  16690  gsumdixp  16691  psrmulcllem  17448  psrlidm  17464  psrlidmOLD  17465  psrridm  17466  psrridmOLD  17467  psrass1  17468  psrdi  17469  psrdir  17470  psrcom  17471  mplmonmul  17533  mplcoe1  17534  evlslem2  17581  psropprmul  17647  coe1mul2  17677  gsumfsum  17779  nn0srg  17781  rge0srg  17782  regsumsupp  17952  ip2di  17970  frlmphl  18106  mamucl  18201  mamuass  18206  mamudi  18207  mamudir  18208  mavmulcl  18258  mavmulass  18260  mdetleib2  18299  mdetf  18306  mdetrlin  18309  mdetralt  18314  m2detleib  18337  madugsum  18349  smadiadetlem3lem2  18373  smadiadet  18376  evlslem1  21425  tdeglem1  21470  tdeglem3  21471  tdeglem4  21472  plypf1  21623  taylfvallem  21766  taylf  21769  tayl0  21770  taylpfval  21773  jensenlem1  22323  jensenlem2  22324  jensen  22325  amgm  22327  ofldchr  26201  lply1binom  30719  mat1dimmul  30738  dmatmul  30742  lfladdcl  32404
  Copyright terms: Public domain W3C validator