MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcmn Structured version   Unicode version

Theorem rngcmn 17016
Description: A ring is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rngcmn  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)

Proof of Theorem rngcmn
StepHypRef Expression
1 rngabl 17015 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
2 ablcmn 16600 . 2  |-  ( R  e.  Abel  ->  R  e. CMnd
)
31, 2syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  CMndccmn 16594   Abelcabl 16595   Ringcrg 16986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988
This theorem is referenced by:  rngsrg  17024  gsummulc1  17036  gsummulc2  17037  gsummulc1OLD  17038  gsummulc2OLD  17039  gsumdixpOLD  17041  gsumdixp  17042  psrmulcllem  17811  psrlidm  17827  psrlidmOLD  17828  psrridm  17829  psrridmOLD  17830  psrass1  17831  psrdi  17832  psrdir  17833  psrcom  17835  mplmonmul  17897  mplcoe1  17898  evlslem2  17951  evlslem1  17955  psropprmul  18050  coe1mul2  18081  coe1fzgsumdlem  18114  gsumsmonply1  18116  gsummoncoe1  18117  lply1binom  18119  evls1gsumadd  18132  evl1gsumdlem  18163  gsumfsum  18252  nn0srg  18254  rge0srg  18255  regsumsupp  18425  ip2di  18443  frlmphl  18579  mamucl  18670  mamuass  18671  mamudi  18672  mamudir  18673  mat1dimmul  18745  dmatmul  18766  mavmulcl  18816  mavmulass  18818  mdetleib2  18857  mdetf  18864  mdetrlin  18871  mdetralt  18877  m2detleib  18900  madugsum  18912  smadiadetlem3lem2  18936  smadiadet  18939  mat2pmatmul  18999  m2pmfzgsumcl  19016  decpmatmul  19040  pmatcollpw1  19044  pmatcollpwfi  19050  pmatcollpw3fi1lem1  19054  pm2mpcl  19065  mply1topmatcl  19073  mp2pm2mplem2  19075  mp2pm2mplem4  19077  mp2pm2mp  19079  pm2mpghm  19084  pm2mpmhmlem2  19087  pm2mp  19093  chfacfscmulgsum  19128  chfacfpmmulgsum  19132  cpmadugsumlemF  19144  cpmadugsumfi  19145  cayhamlem4  19156  tdeglem1  22191  tdeglem3  22192  tdeglem4  22193  plypf1  22344  taylfvallem  22487  taylf  22490  tayl0  22491  taylpfval  22494  jensenlem1  23044  jensenlem2  23045  jensen  23046  amgm  23048  ofldchr  27467  ply1mulgsum  32063  lfladdcl  33868
  Copyright terms: Public domain W3C validator