MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcl Structured version   Unicode version

Theorem rngcl 16646
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 16639 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 16585 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 16583 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 15412 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1251 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   Mndcmnd 15401  mulGrpcmgp 16579   Ringcrg 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mnd 15407  df-mgp 16580  df-rng 16635
This theorem is referenced by:  rnglz  16669  rngrz  16670  rngnegl  16673  rngnegr  16674  rngmneg1  16675  rngmneg2  16676  rngm2neg  16677  rngsubdi  16678  rngsubdir  16679  mulgass2  16680  rnglghm  16681  rngrghm  16682  gsumdixpOLD  16688  gsumdixp  16689  prdsmulrcl  16691  imasrng  16699  divsrng2  16700  opprrng  16711  dvdsrcl2  16730  dvdsrtr  16732  dvdsrmul1  16733  dvrcl  16766  dvrass  16770  irredrmul  16787  isdrngd  16835  subrgmcl  16855  abvtrivd  16903  srngmul  16921  issrngd  16924  idsrngd  16925  lmodmcl  16938  lmodprop2d  16985  prdslmodd  17027  sralmod  17245  2idlcpbl  17293  divsrhm  17296  divscrng  17299  assapropd  17375  asclrhm  17389  psrmulcllem  17435  psrvscacl  17441  psrlmod  17449  psrlidm  17451  psrlidmOLD  17452  psrridm  17453  psrridmOLD  17454  psrass1  17455  psrdi  17456  psrdir  17457  psrcom  17458  psrass23  17459  mplmonmul  17520  mplmon2mul  17558  mplind  17559  evlslem2  17572  evlslem6  17573  evlslem6OLD  17574  evlslem3  17575  evlslem1  17576  mpfind  17597  psropprmul  17668  coe1mul2  17698  coe1tmmul2  17704  coe1tmmul  17705  evl1muld  17752  frlmphl  18181  mamucl  18276  mamulid  18279  mamurid  18280  mamuass  18281  mamudi  18282  mamudir  18283  mamuvs1  18284  mamuvs2  18285  madetsmelbas  18324  madetsmelbas2  18325  mavmulcl  18333  mavmulass  18335  mdetleib2  18374  mdetf  18381  mdetrlin  18384  mdetrsca  18385  mdetrsca2  18386  mdetralt  18389  mdetero  18391  mdetuni0  18402  mdetmul  18404  m2detleib  18412  madugsum  18424  madulid  18426  nrgdsdi  20221  nrgdsdir  20222  nrginvrcnlem  20246  mdegmullem  21524  coe1mul3  21546  deg1mul2  21561  deg1mul3  21562  deg1mul3le  21563  ply1domn  21570  ply1divmo  21582  ply1divex  21583  uc1pmon1p  21598  r1pcl  21604  r1pid  21606  dvdsq1p  21607  dvdsr1p  21608  ply1rem  21610  dchrelbas3  22552  dchrmulcl  22563  dchrinv  22575  abvcxp  22839  rdivmuldivd  26210  ornglmulle  26224  orngrmulle  26225  ornglmullt  26226  orngrmullt  26227  orngmullt  26228  hbtlem2  29433  mendlmod  29503  mendassa  29504  isdomn3  29525  mon1psubm  29527  deg1mhm  29528  assa2ass  30758  psrass23l  30763  mat1dimscm  30794  mat1dimmul  30795  dmatmul  30799  dmatmulcl  30802  scmatmulcl  30809  lincscm  30853  lincscmcl  30855  lincresunitlem2  30899  lmod1lem4  30921  lflnegcl  32560  lflvscl  32562  lkrlsp  32587  ldualvsass  32626  lclkrlem2m  35004  lclkrlem2o  35006  lclkrlem2p  35007  lcfrlem2  35028  lcfrlem3  35029  lcfrlem29  35056  mapdpglem30  35187  hdmapglem7  35417
  Copyright terms: Public domain W3C validator