MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcl Unicode version

Theorem rngcl 15632
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 15625 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 15609 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 15607 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 14650 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1217 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   Mndcmnd 14639  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615
This theorem is referenced by:  rnglz  15655  rngrz  15656  rngnegl  15658  rngnegr  15659  rngmneg1  15660  rngmneg2  15661  rngm2neg  15662  rngsubdi  15663  rngsubdir  15664  mulgass2  15665  rnglghm  15666  rngrghm  15667  gsumdixp  15670  prdsmulrcl  15672  imasrng  15680  divsrng2  15681  opprrng  15691  dvdsrcl2  15710  dvdsrtr  15712  dvdsrmul1  15713  dvrcl  15746  dvrass  15750  irredrmul  15767  isdrngd  15815  subrgmcl  15835  abvtrivd  15883  srngmul  15901  issrngd  15904  lmodmcl  15917  lmodprop2d  15961  prdslmodd  16000  sralmod  16213  2idlcpbl  16260  divsrhm  16263  divscrng  16266  assapropd  16341  asclrhm  16355  psrmulcllem  16406  psrvscacl  16412  psrlmod  16420  psrlidm  16422  psrridm  16423  psrass1  16424  psrdi  16425  psrdir  16426  psrcom  16427  psrass23  16428  mplmonmul  16482  mplmon2mul  16516  mplind  16517  evlslem2  16523  psropprmul  16587  coe1mul2  16617  coe1tmmul2  16623  coe1tmmul  16624  nrgdsdi  18654  nrgdsdir  18655  nrginvrcnlem  18679  evlslem6  19887  evlslem3  19888  evlslem1  19889  evl1muld  19909  mpfind  19918  mdegmullem  19954  coe1mul3  19975  deg1mul2  19990  deg1mul3  19991  deg1mul3le  19992  ply1domn  19999  ply1divmo  20011  ply1divex  20012  uc1pmon1p  20027  r1pcl  20033  r1pid  20035  dvdsq1p  20036  dvdsr1p  20037  ply1rem  20039  dchrelbas3  20975  dchrmulcl  20986  dchrinv  20998  abvcxp  21262  rdivmuldivd  24180  hbtlem2  27196  mamucl  27324  mamulid  27326  mamurid  27327  mamuass  27328  mamudi  27329  mamudir  27330  mamuvs1  27331  mamuvs2  27332  mendlmod  27369  mendassa  27370  isdomn3  27391  mon1psubm  27393  deg1mhm  27394  lflnegcl  29558  lflvscl  29560  lkrlsp  29585  ldualvsass  29624  lclkrlem2m  32002  lclkrlem2o  32004  lclkrlem2p  32005  lcfrlem2  32026  lcfrlem3  32027  lcfrlem29  32054  mapdpglem30  32185  hdmapglem7  32415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mnd 14645  df-mgp 15604  df-rng 15618
  Copyright terms: Public domain W3C validator