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Theorem rngcinvALTV 40048
Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsectALTV.c  |-  C  =  (RngCatALTV `  U )
rngcsectALTV.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rngcsectALTV.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
rngcsectALTV.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngcsectALTV.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
rngcinvALTV.n  |-  N  =  (Inv `  C )
Assertion
Ref Expression
rngcinvALTV  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinvALTV
StepHypRef Expression
1 rngcsectALTV.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 rngcinvALTV.n . . 3  |-  N  =  (Inv `  C )
3 rngcsectALTV.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 rngcsectALTV.c . . . . 5  |-  C  =  (RngCatALTV `  U )
54rngccatALTV 40045 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 rngcsectALTV.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 rngcsectALTV.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 eqid 2451 . . 3  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
101, 2, 6, 7, 8, 9isinv 15665 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F ) ) )
11 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
124, 1, 3, 7, 8, 11, 9rngcsectALTV 40047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
13 df-3an 987 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) )
1412, 13syl6bb 265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
164, 1, 3, 8, 7, 15, 9rngcsectALTV 40047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
17 3ancoma 992 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
18 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
1917, 18bitri 253 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
2016, 19syl6bb 265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2114, 20anbi12d 717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
22 anandi 837 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2321, 22syl6bb 265 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
24 simplrl 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
2524adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
2611, 15rnghmf 39952 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) --> ( Base `  Y )
)
2715, 11rnghmf 39952 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( Y RngHomo  X
)  ->  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)
2826, 27anim12i 570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
2928ad2antlr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
30 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
3130adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
32 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3332ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3429, 31, 33jca32 538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
3534adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
36 fcof1o 6194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  `' F  =  G
) )
37 eqcom 2458 . . . . . . . 8  |-  ( `' F  =  G  <->  G  =  `' F )
3837anbi2i 700 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  /\  `' F  =  G )  <->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
3936, 38sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) )
4035, 39syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
41 anass 655 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)  /\  G  =  `' F )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F : (
Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) ) )
4225, 40, 41sylanbrc 670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) )
4311, 15isrngim 39957 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
447, 8, 43syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
4544anbi1d 711 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4645adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4742, 46mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )
4811, 15rngimrnghm 39959 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
4948ad2antrl 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
50 isrngisom 39949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
517, 8, 50syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
52 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F  =  G  -> 
( `' F  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  G  e.  ( Y RngHomo  X
) ) )
5352eqcoms 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  =  `' F  -> 
( `' F  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  G  e.  ( Y RngHomo  X
) ) )
5453anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  `' F  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
5551, 54sylan9bbr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
56 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )
5755, 56syl6bi 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
5857com12 32 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
5958expdimp 439 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
6059impcom 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )
61 coeq1 4992 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6261ad2antll 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6311, 15rngimf1o 39958 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
6463ad2antrl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)
65 f1ococnv1 5842 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6664, 65syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6762, 66eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )
6849, 60, 67jca31 537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )
6951biimpcd 228 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7069adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7170impcom 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
72 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  `' F  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
7372ad2antll 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  `' F  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
7473anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7571, 74mpbird 236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
76 coeq2 4993 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
7776ad2antll 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
78 f1ococnv2 5840 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
7964, 78syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
8077, 79eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
8175, 67, 80jca31 537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
8268, 75, 81jca31 537 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
8347, 82impbida 843 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
8410, 23, 833bitrd 283 1  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402    _I cid 4744   `'ccnv 4833    |` cres 4836    o. ccom 4838   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   Catccat 15570  Sectcsect 15649  Invcinv 15650   RngHomo crngh 39938   RngIsom crngs 39939  RngCatALTVcrngcALTV 40013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-cat 15574  df-cid 15575  df-sect 15652  df-inv 15653  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-ghm 16881  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-mgmhm 39832  df-rng0 39928  df-rnghomo 39940  df-rngisom 39941  df-rngcALTV 40015
This theorem is referenced by:  rngcisoALTV  40049
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