Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcinv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rngcinv 40491
Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c  |-  C  =  (RngCat `  U )
rngcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rngcsect.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
rngcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
rngcinv.n  |-  N  =  (Inv `  C )
Assertion
Ref Expression
rngcinv  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinv
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 rngcinv.n . . 3  |-  N  =  (Inv `  C )
3 rngcsect.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 rngcsect.c . . . . 5  |-  C  =  (RngCat `  U )
54rngccat 40488 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 rngcsect.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 rngcsect.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 eqid 2471 . . 3  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
101, 2, 6, 7, 8, 9isinv 15743 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F ) ) )
11 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
124, 1, 3, 7, 8, 11, 9rngcsect 40490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
13 df-3an 1009 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) )
1412, 13syl6bb 269 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
164, 1, 3, 8, 7, 15, 9rngcsect 40490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
17 3ancoma 1014 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
18 df-3an 1009 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
1917, 18bitri 257 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
2016, 19syl6bb 269 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2114, 20anbi12d 725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
22 anandi 844 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2321, 22syl6bb 269 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
24 simplrl 778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
2524adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
2611, 15rnghmf 40407 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) --> ( Base `  Y )
)
2715, 11rnghmf 40407 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( Y RngHomo  X
)  ->  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)
2826, 27anim12i 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
2928ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
30 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
3130adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
32 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3332ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3429, 31, 33jca32 544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
3534adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
36 fcof1o 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  `' F  =  G
) )
37 eqcom 2478 . . . . . . . 8  |-  ( `' F  =  G  <->  G  =  `' F )
3837anbi2i 708 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  /\  `' F  =  G )  <->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
3936, 38sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) )
4035, 39syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
41 anass 661 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)  /\  G  =  `' F )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F : (
Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) ) )
4225, 40, 41sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) )
4311, 15isrngim 40412 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
447, 8, 43syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
4544anbi1d 719 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4645adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4742, 46mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )
4811, 15rngimrnghm 40414 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
4948ad2antrl 742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
50 isrngisom 40404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
517, 8, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
52 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F  =  G  -> 
( `' F  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  G  e.  ( Y RngHomo  X
) ) )
5352eqcoms 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  =  `' F  -> 
( `' F  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  G  e.  ( Y RngHomo  X
) ) )
5453anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  `' F  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
5551, 54sylan9bbr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
56 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )
5755, 56syl6bi 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
5857com12 31 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
5958expdimp 444 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
6059impcom 437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )
61 coeq1 4997 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6261ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6311, 15rngimf1o 40413 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
6463ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)
65 f1ococnv1 5856 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6664, 65syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6762, 66eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )
6849, 60, 67jca31 543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )
6951biimpcd 232 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7069adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7170impcom 437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
72 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  `' F  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
7372ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  `' F  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
7473anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7571, 74mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
76 coeq2 4998 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
7776ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
78 f1ococnv2 5854 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
7964, 78syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
8077, 79eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
8175, 67, 80jca31 543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
8268, 75, 81jca31 543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
8347, 82impbida 850 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
8410, 23, 833bitrd 287 1  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395    _I cid 4749   `'ccnv 4838    |` cres 4841    o. ccom 4843   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   Catccat 15648  Sectcsect 15727  Invcinv 15728   RngHomo crngh 40393   RngIsom crngs 40394  RngCatcrngc 40467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-sect 15730  df-inv 15731  df-ssc 15793  df-resc 15794  df-subc 15795  df-estrc 16086  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-mgmhm 40287  df-rng0 40383  df-rnghomo 40395  df-rngisom 40396  df-rngc 40469
This theorem is referenced by:  rngciso  40492
  Copyright terms: Public domain W3C validator