Theorem rngcinv 40491

Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcsect.c	|- C = (RngCat ` U )
rngcsect.b	|- B = ( Base ` C )
rngcsect.u	|- ( ph -> U e. V )
rngcsect.x	|- ( ph -> X e. B )
rngcsect.y	|- ( ph -> Y e. B )
rngcinv.n	|- N = (Inv ` C )

Assertion

Ref	Expression
rngcinv	|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcsect.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		rngcinv.n	. . 3 |- N = (Inv ` C )
3		rngcsect.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
4		rngcsect.c	. . . . 5 |- C = (RngCat ` U )
5	4	rngccat 40488	. . . 4 |- ( U e. V -> C e. Cat )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
7		rngcsect.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		rngcsect.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
9		eqid 2471	. . 3 |- (Sect ` C ) = (Sect ` C )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isinv 15743	. 2 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) ) )
11		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
12	4, 1, 3, 7, 8, 11, 9	rngcsect 40490	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
13		df-3an 1009	. . . . 5 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
14	12, 13	syl6bb 269	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16	4, 1, 3, 8, 7, 15, 9	rngcsect 40490	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
17		3ancoma 1014	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
18		df-3an 1009	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
19	17, 18	bitri 257	. . . . 5 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
20	16, 19	syl6bb 269	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
21	14, 20	anbi12d 725	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
22		anandi 844	. . 3 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
23	21, 22	syl6bb 269	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
24		simplrl 778	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
25	24	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
26	11, 15	rnghmf 40407	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( X RngHomo Y ) -> F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
27	15, 11	rnghmf 40407	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( Y RngHomo X ) -> G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) )
28	26, 27	anim12i 576	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
29	28	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
30		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
31	30	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
32		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
33	32	ad2antrl 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
34	29, 31, 33	jca32 544	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
35	34	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
36		fcof1o 6212	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) )
37		eqcom 2478	. . . . . . . 8 |- ( `' F = G <-> G = `' F )
38	37	anbi2i 708	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) <-> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
39	36, 38	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
40	35, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
41		anass 661	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) )
42	25, 40, 41	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) )
43	11, 15	isrngim 40412	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
44	7, 8, 43	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
45	44	anbi1d 719	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
46	45	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
47	42, 46	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) )
48	11, 15	rngimrnghm 40414	. . . . . 6 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
49	48	ad2antrl 742	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
50		isrngisom 40404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
51	7, 8, 50	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
52		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F = G -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
53	52	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( G = `' F -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
54	53	anbi2d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( G = `' F -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
55	51, 54	sylan9bbr 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
56		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
57	55, 56	syl6bi 236	. . . . . . . 8 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
58	57	com12 31	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ( G = `' F /\ ph ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
59	58	expdimp 444	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
60	59	impcom 437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
61		coeq1 4997	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
62	61	ad2antll 743	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
63	11, 15	rngimf1o 40413	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
64	63	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
65		f1ococnv1 5856	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
67	62, 66	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
68	49, 60, 67	jca31 543	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
69	51	biimpcd 232	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
70	69	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
71	70	impcom 437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
72		eleq1 2537	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
73	72	ad2antll 743	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
74	73	anbi2d 718	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
75	71, 74	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) )
76		coeq2 4998	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
77	76	ad2antll 743	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
78		f1ococnv2 5854	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
79	64, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
80	77, 79	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
81	75, 67, 80	jca31 543	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
82	68, 75, 81	jca31 543	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
83	47, 82	impbida 850	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )
84	10, 23, 83	3bitrd 287	1 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   class class class wbr 4395   _I cid 4749   `'ccnv 4838   |` cres 4841   o. ccom 4843   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   Catccat 15648  Sectcsect 15727  Invcinv 15728   RngHomo crngh 40393   RngIsom crngs 40394  RngCatcrngc 40467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-sect 15730  df-inv 15731  df-ssc 15793  df-resc 15794  df-subc 15795  df-estrc 16086  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-mgmhm 40287  df-rng0 40383  df-rnghomo 40395  df-rngisom 40396  df-rngc 40469

This theorem is referenced by:  rngciso  40492