Theorem rngcinv 40036

Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcsect.c	|- C = (RngCat ` U )
rngcsect.b	|- B = ( Base ` C )
rngcsect.u	|- ( ph -> U e. V )
rngcsect.x	|- ( ph -> X e. B )
rngcsect.y	|- ( ph -> Y e. B )
rngcinv.n	|- N = (Inv ` C )

Assertion

Ref	Expression
rngcinv	|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcsect.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		rngcinv.n	. . 3 |- N = (Inv ` C )
3		rngcsect.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
4		rngcsect.c	. . . . 5 |- C = (RngCat ` U )
5	4	rngccat 40033	. . . 4 |- ( U e. V -> C e. Cat )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
7		rngcsect.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		rngcsect.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
9		eqid 2451	. . 3 |- (Sect ` C ) = (Sect ` C )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isinv 15665	. 2 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) ) )
11		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
12	4, 1, 3, 7, 8, 11, 9	rngcsect 40035	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
13		df-3an 987	. . . . 5 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
14	12, 13	syl6bb 265	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16	4, 1, 3, 8, 7, 15, 9	rngcsect 40035	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
17		3ancoma 992	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
18		df-3an 987	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
19	17, 18	bitri 253	. . . . 5 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
20	16, 19	syl6bb 265	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
21	14, 20	anbi12d 717	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
22		anandi 837	. . 3 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
23	21, 22	syl6bb 265	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
24		simplrl 770	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
25	24	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
26	11, 15	rnghmf 39952	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( X RngHomo Y ) -> F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
27	15, 11	rnghmf 39952	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( Y RngHomo X ) -> G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) )
28	26, 27	anim12i 570	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
29	28	ad2antlr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
30		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
31	30	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
32		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
33	32	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
34	29, 31, 33	jca32 538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
35	34	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
36		fcof1o 6194	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) )
37		eqcom 2458	. . . . . . . 8 |- ( `' F = G <-> G = `' F )
38	37	anbi2i 700	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) <-> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
39	36, 38	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
40	35, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
41		anass 655	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) )
42	25, 40, 41	sylanbrc 670	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) )
43	11, 15	isrngim 39957	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
44	7, 8, 43	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
45	44	anbi1d 711	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
46	45	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
47	42, 46	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) )
48	11, 15	rngimrnghm 39959	. . . . . 6 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
49	48	ad2antrl 734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
50		isrngisom 39949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
51	7, 8, 50	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
52		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F = G -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
53	52	eqcoms 2459	. . . . . . . . . . 11 |- ( G = `' F -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
54	53	anbi2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( G = `' F -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
55	51, 54	sylan9bbr 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
56		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
57	55, 56	syl6bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ( G = `' F /\ ph ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
59	58	expdimp 439	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
60	59	impcom 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
61		coeq1 4992	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
62	61	ad2antll 735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
63	11, 15	rngimf1o 39958	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
64	63	ad2antrl 734	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
65		f1ococnv1 5842	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
67	62, 66	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
68	49, 60, 67	jca31 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
69	51	biimpcd 228	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
70	69	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
71	70	impcom 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
72		eleq1 2517	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
73	72	ad2antll 735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
74	73	anbi2d 710	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
75	71, 74	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) )
76		coeq2 4993	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
77	76	ad2antll 735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
78		f1ococnv2 5840	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
79	64, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
80	77, 79	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
81	75, 67, 80	jca31 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
82	68, 75, 81	jca31 537	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
83	47, 82	impbida 843	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )
84	10, 23, 83	3bitrd 283	1 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   _I cid 4744   `'ccnv 4833   |` cres 4836   o. ccom 4838   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   Catccat 15570  Sectcsect 15649  Invcinv 15650   RngHomo crngh 39938   RngIsom crngs 39939  RngCatcrngc 40012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-cat 15574  df-cid 15575  df-homf 15576  df-sect 15652  df-inv 15653  df-ssc 15715  df-resc 15716  df-subc 15717  df-estrc 16008  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-ghm 16881  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-mgmhm 39832  df-rng0 39928  df-rnghomo 39940  df-rngisom 39941  df-rngc 40014

This theorem is referenced by:  rngciso  40037