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Theorem rngcinv 33062
Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcsect.c  |-  C  =  (RngCat `  U )
rngcsect.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rngcsect.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
rngcsect.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
rngcsect.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
rngcinv.n  |-  N  =  (Inv `  C )
Assertion
Ref Expression
rngcinv  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinv
StepHypRef Expression
1 rngcsect.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 rngcinv.n . . 3  |-  N  =  (Inv `  C )
3 rngcsect.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
4 rngcsect.c . . . . 5  |-  C  =  (RngCat `  U )
54rngccat 33059 . . . 4  |-  ( U  e.  V  ->  C  e.  Cat )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
7 rngcsect.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 rngcsect.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 eqid 2454 . . 3  |-  (Sect `  C )  =  (Sect `  C )
101, 2, 6, 7, 8, 9isinv 15251 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F ) ) )
11 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
124, 1, 3, 7, 8, 11, 9rngcsect 33061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
13 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) )
1412, 13syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( X (Sect `  C ) Y ) G  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
15 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
164, 1, 3, 8, 7, 15, 9rngcsect 33061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
17 3ancoma 978 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
18 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
1917, 18bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( Y RngHomo  X )  /\  F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
2016, 19syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( Y (Sect `  C ) X ) F  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2114, 20anbi12d 708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
22 anandi 826 . . 3  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
2321, 22syl6bb 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( X (Sect `  C
) Y ) G  /\  G ( Y (Sect `  C ) X ) F )  <-> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
24 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
2524adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
2611, 15rnghmf 32978 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) --> ( Base `  Y )
)
2715, 11rnghmf 32978 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( Y RngHomo  X
)  ->  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)
2826, 27anim12i 564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
2928ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
) )
30 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
3130adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
32 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3332ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
3429, 31, 33jca32 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
3534adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F : ( Base `  X
) --> ( Base `  Y
)  /\  G :
( Base `  Y ) --> ( Base `  X )
)  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) ) ) )
36 fcof1o 6174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  `' F  =  G
) )
37 eqcom 2463 . . . . . . . 8  |-  ( `' F  =  G  <->  G  =  `' F )
3837anbi2i 692 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
)  /\  `' F  =  G )  <->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
3936, 38sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : (
Base `  X ) --> ( Base `  Y )  /\  G : ( Base `  Y ) --> ( Base `  X ) )  /\  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )  ->  ( F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) )
4035, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F ) )
41 anass 647 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)  /\  G  =  `' F )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  ( F : (
Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y )  /\  G  =  `' F
) ) )
4225, 40, 41sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) )
4311, 15isrngim 32983 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
447, 8, 43syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F : ( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y
) ) ) )
4544anbi1d 702 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4645adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  <->  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )  /\  G  =  `' F ) ) )
4742, 46mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )  /\  (
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )  /\  ( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )
4811, 15rngimrnghm 32985 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
4948ad2antrl 725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F  e.  ( X RngHomo  Y ) )
50 isrngisom 32975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
517, 8, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
52 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' F  =  G  -> 
( `' F  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  G  e.  ( Y RngHomo  X
) ) )
5352eqcoms 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  =  `' F  -> 
( `' F  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  G  e.  ( Y RngHomo  X
) ) )
5453anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  `' F  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
5551, 54sylan9bbr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
56 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )
5755, 56syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
5857com12 31 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  ( ( G  =  `' F  /\  ph )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
5958expdimp 435 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
6059impcom 428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )
61 coeq1 5149 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6261ad2antll 726 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  ( `' F  o.  F ) )
6311, 15rngimf1o 32984 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  F :
( Base `  X ) -1-1-onto-> ( Base `  Y ) )
6463ad2antrl 725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  ->  F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )
)
65 f1ococnv1 5826 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6664, 65syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )
6762, 66eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) )
6849, 60, 67jca31 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F
)  =  (  _I  |`  ( Base `  X
) ) ) )
6951biimpcd 224 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( X RngIsom  Y
)  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7069adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F )  ->  ( ph  ->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7170impcom 428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )
72 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( G  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  `' F  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
7372ad2antll 726 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( G  e.  ( Y RngHomo  X )  <->  `' F  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
7473anbi2d 701 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  <->  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  `' F  e.  ( Y RngHomo  X ) ) ) )
7571, 74mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
) )
76 coeq2 5150 . . . . . . 7  |-  ( G  =  `' F  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
7776ad2antll 726 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  ( F  o.  `' F ) )
78 f1ococnv2 5824 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  X
)
-1-1-onto-> ( Base `  Y )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
7964, 78syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) )
8077, 79eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( F  o.  G
)  =  (  _I  |`  ( Base `  Y
) ) )
8175, 67, 80jca31 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y
)  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) )  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )
8268, 75, 81jca31 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) )  -> 
( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) ) )
8347, 82impbida 830 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X ) ) )  /\  ( ( ( F  e.  ( X RngHomo  Y )  /\  G  e.  ( Y RngHomo  X )
)  /\  ( G  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  X ) ) )  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  Y ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
8410, 23, 833bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( F ( X N Y ) G  <-> 
( F  e.  ( X RngIsom  Y )  /\  G  =  `' F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439    _I cid 4779   `'ccnv 4987    |` cres 4990    o. ccom 4992   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   Catccat 15156  Sectcsect 15235  Invcinv 15236   RngHomo crngh 32964   RngIsom crngs 32965  RngCatcrngc 33038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-cat 15160  df-cid 15161  df-homf 15162  df-sect 15238  df-inv 15239  df-ssc 15301  df-resc 15302  df-subc 15303  df-estrc 15594  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-ghm 16467  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-mgmhm 32858  df-rng0 32954  df-rnghomo 32966  df-rngisom 32967  df-rngc 33040
This theorem is referenced by:  rngciso  33063
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