Theorem rngcinv 33062

Description: An inverse in the category of non-unital rings is the converse operation. (Contributed by AV, 28-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcsect.c	|- C = (RngCat ` U )
rngcsect.b	|- B = ( Base ` C )
rngcsect.u	|- ( ph -> U e. V )
rngcsect.x	|- ( ph -> X e. B )
rngcsect.y	|- ( ph -> Y e. B )
rngcinv.n	|- N = (Inv ` C )

Assertion

Ref	Expression
rngcinv	|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Proof of Theorem rngcinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcsect.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
2		rngcinv.n	. . 3 |- N = (Inv ` C )
3		rngcsect.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
4		rngcsect.c	. . . . 5 |- C = (RngCat ` U )
5	4	rngccat 33059	. . . 4 |- ( U e. V -> C e. Cat )
6	3, 5	syl 16	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
7		rngcsect.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		rngcsect.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
9		eqid 2454	. . 3 |- (Sect ` C ) = (Sect ` C )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	isinv 15251	. 2 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) ) )
11		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
12	4, 1, 3, 7, 8, 11, 9	rngcsect 33061	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
13		df-3an 973	. . . . 5 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
14	12, 13	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
15		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
16	4, 1, 3, 8, 7, 15, 9	rngcsect 33061	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
17		3ancoma 978	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
18		df-3an 973	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
19	17, 18	bitri 249	. . . . 5 |- ( ( G e. ( Y RngHomo X ) /\ F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
20	16, 19	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( Y (Sect ` C ) X ) F <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
21	14, 20	anbi12d 708	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
22		anandi 826	. . 3 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
23	21, 22	syl6bb 261	. 2 |- ( ph -> ( ( F ( X (Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y (Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) )
24		simplrl 759	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
25	24	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
26	11, 15	rnghmf 32978	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( X RngHomo Y ) -> F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
27	15, 11	rnghmf 32978	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( Y RngHomo X ) -> G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) )
28	26, 27	anim12i 564	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
29	28	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) )
30		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
31	30	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
32		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
33	32	ad2antrl 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
34	29, 31, 33	jca32 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
35	34	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) )
36		fcof1o 6174	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) )
37		eqcom 2463	. . . . . . . 8 |- ( `' F = G <-> G = `' F )
38	37	anbi2i 692	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) <-> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
39	36, 38	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
40	35, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) )
41		anass 647	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) )
42	25, 40, 41	sylanbrc 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) )
43	11, 15	isrngim 32983	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
44	7, 8, 43	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) )
45	44	anbi1d 702	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
46	45	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) )
47	42, 46	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) )
48	11, 15	rngimrnghm 32985	. . . . . 6 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
49	48	ad2antrl 725	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F e. ( X RngHomo Y ) )
50		isrngisom 32975	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
51	7, 8, 50	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
52		eleq1 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F = G -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
53	52	eqcoms 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( G = `' F -> ( `' F e. ( Y RngHomo X ) <-> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
54	53	anbi2d 701	. . . . . . . . . 10 |- ( G = `' F -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
55	51, 54	sylan9bbr 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
56		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
57	55, 56	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RngIsom Y ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
58	57	com12 31	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ( G = `' F /\ ph ) -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
59	58	expdimp 435	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> G e. ( Y RngHomo X ) ) )
60	59	impcom 428	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> G e. ( Y RngHomo X ) )
61		coeq1 5149	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
62	61	ad2antll 726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) )
63	11, 15	rngimf1o 32984	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
64	63	ad2antrl 725	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) )
65		f1ococnv1 5826	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
66	64, 65	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
67	62, 66	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) )
68	49, 60, 67	jca31 532	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) )
69	51	biimpcd 224	. . . . . . 7 |- ( F e. ( X RngIsom Y ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
70	69	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
71	70	impcom 428	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
72		eleq1 2526	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
73	72	ad2antll 726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G e. ( Y RngHomo X ) <-> `' F e. ( Y RngHomo X ) ) )
74	73	anbi2d 701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) <-> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ `' F e. ( Y RngHomo X ) ) ) )
75	71, 74	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) )
76		coeq2 5150	. . . . . . 7 |- ( G = `' F -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
77	76	ad2antll 726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) )
78		f1ococnv2 5824	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
79	64, 78	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
80	77, 79	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) )
81	75, 67, 80	jca31 532	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) )
82	68, 75, 81	jca31 532	. . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) )
83	47, 82	impbida 830	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RngHomo Y ) /\ G e. ( Y RngHomo X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )
84	10, 23, 83	3bitrd 279	1 |- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RngIsom Y ) /\ G = `' F ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   class class class wbr 4439   _I cid 4779   `'ccnv 4987   |` cres 4990   o. ccom 4992   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   Catccat 15156  Sectcsect 15235  Invcinv 15236   RngHomo crngh 32964   RngIsom crngs 32965  RngCatcrngc 33038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-cat 15160  df-cid 15161  df-homf 15162  df-sect 15238  df-inv 15239  df-ssc 15301  df-resc 15302  df-subc 15303  df-estrc 15594  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-grp 16259  df-ghm 16467  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-mgmhm 32858  df-rng0 32954  df-rnghomo 32966  df-rngisom 32967  df-rngc 33040

This theorem is referenced by:  rngciso  33063