MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngass Structured version   Unicode version

Theorem rngass 16666
Description: Associative law for the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
rngass  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  Z )  =  ( X  .x.  ( Y 
.x.  Z ) ) )

Proof of Theorem rngass
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21rngmgp 16656 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 rngcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 16602 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 rngcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 16600 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndass 15426 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  .x.  Y )  .x.  Z
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  Z ) ) )
82, 7sylan 471 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  Z )  =  ( X  .x.  ( Y 
.x.  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   .rcmulr 14244   Mndcmnd 15414  mulGrpcmgp 16596   Ringcrg 16650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-mnd 15420  df-mgp 16597  df-rng 16652
This theorem is referenced by:  rngmneg1  16692  rngmneg2  16693  imasrng  16716  opprrng  16728  dvdsrtr  16749  dvdsrmul1  16750  unitgrp  16764  dvrass  16787  dvrcan1  16788  drngmul0or  16858  isdrngd  16862  subrginv  16886  issubrg2  16890  sralmod  17273  unitrrg  17370  sraassa  17401  psrlmod  17477  psrass1  17483  psrass23  17487  frlmphl  18211  mamuass  18311  mamuvs1  18314  mavmulass  18365  mdetrsca  18415  nrginvrcnlem  20276  ply1divex  21613  rdivmuldivd  26264  dvrcan5  26266  ornglmullt  26280  psrass23l  30829  lflvscl  32727  lflvsass  32731  eqlkr3  32751  lkrlsp  32752  lcfl7lem  35149  lclkrlem2m  35169  lcfrlem1  35192  hgmapvvlem1  35576
  Copyright terms: Public domain W3C validator