MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngacl Structured version   Unicode version

Theorem rngacl 17039
Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngacl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
rngacl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )

Proof of Theorem rngacl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 17017 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rngacl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rngacl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
42, 3grpcl 15877 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
51, 4syl3an1 1261 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   Grpcgrp 15730   Ringcrg 17012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576  ax-pow 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6288  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-rng 17014
This theorem is referenced by:  rngcom  17040  rnglghm  17063  rngrghm  17064  imasrng  17081  qusrng2  17082  cntzsubr  17273  srngadd  17318  issrngd  17322  lmodprop2d  17384  prdslmodd  17427  psrlmod  17865  mpfind  18016  coe1add  18116  ip2subdi  18486  mat1ghm  18792  scmatghm  18842  mdetrlin2  18916  mdetunilem5  18925  cpmatacl  19024  mdegaddle  22301  deg1addle2  22330  deg1add  22331  ply1divex  22364  mendlmod  30974  lmod1lem3  32388  dvhlveclem  36122  baerlem3lem1  36721
  Copyright terms: Public domain W3C validator