MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng1nfld Structured version   Unicode version

Theorem rng1nfld 18495
Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rng1nfld.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
Assertion
Ref Expression
rng1nfld  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ Field )

Proof of Theorem rng1nfld
StepHypRef Expression
1 rng1nfld.m . . . . . 6  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
21rng1nnzr 18491 . . . . 5  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ NzRing )
3 df-nel 2622 . . . . 5  |-  ( M  e/ NzRing 
<->  -.  M  e. NzRing )
42, 3sylib 200 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e. NzRing )
5 drngnzr 18479 . . . 4  |-  ( M  e.  DivRing  ->  M  e. NzRing )
64, 5nsyl 125 . . 3  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e.  DivRing )
7 isfld 17977 . . . 4  |-  ( M  e. Field 
<->  ( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing ) )
8 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing )  ->  M  e.  DivRing )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  (
( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing )  ->  M  e.  DivRing ) )
107, 9syl5bi 221 . . 3  |-  ( Z  e.  V  ->  ( M  e. Field  ->  M  e.  DivRing ) )
116, 10mtod 181 . 2  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e. Field )
12 df-nel 2622 . 2  |-  ( M  e/ Field 
<->  -.  M  e. Field )
1311, 12sylibr 216 1  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ Field )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    e/ wnel 2620   {csn 3997   {ctp 4001   <.cop 4003   ` cfv 5599   ndxcnx 15111   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   CRingccrg 17774   DivRingcdr 17968  Fieldcfield 17969  NzRingcnzr 18474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-drng 17970  df-field 17971  df-nzr 18475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator