Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rng1nfld Structured version   Unicode version

Theorem rng1nfld 32044
Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rng1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
Assertion
Ref Expression
rng1nfld  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ Field )

Proof of Theorem rng1nfld
StepHypRef Expression
1 rng1.m . . . . . 6  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
21rng1nnzr 32043 . . . . 5  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ NzRing )
3 df-nel 2660 . . . . 5  |-  ( M  e/ NzRing 
<->  -.  M  e. NzRing )
42, 3sylib 196 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e. NzRing )
5 drngnzr 17687 . . . 4  |-  ( M  e.  DivRing  ->  M  e. NzRing )
64, 5nsyl 121 . . 3  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e.  DivRing )
7 isfld 17183 . . . 4  |-  ( M  e. Field 
<->  ( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing ) )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing )  ->  M  e.  DivRing )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  (
( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing )  ->  M  e.  DivRing ) )
107, 9syl5bi 217 . . 3  |-  ( Z  e.  V  ->  ( M  e. Field  ->  M  e.  DivRing ) )
116, 10mtod 177 . 2  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e. Field )
12 df-nel 2660 . 2  |-  ( M  e/ Field 
<->  -.  M  e. Field )
1311, 12sylibr 212 1  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ Field )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    e/ wnel 2658   {csn 4022   {ctp 4026   <.cop 4028   ` cfv 5581   ndxcnx 14478   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547   CRingccrg 16982   DivRingcdr 17174  Fieldcfield 17175  NzRingcnzr 17682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-hash 12363  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-drng 17176  df-field 17177  df-nzr 17683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator