MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng1nfld Structured version   Unicode version

Theorem rng1nfld 18246
Description: The zero ring is not a field. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rng1nfld.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
Assertion
Ref Expression
rng1nfld  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ Field )

Proof of Theorem rng1nfld
StepHypRef Expression
1 rng1nfld.m . . . . . 6  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { Z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>. }
21rng1nnzr 18242 . . . . 5  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ NzRing )
3 df-nel 2601 . . . . 5  |-  ( M  e/ NzRing 
<->  -.  M  e. NzRing )
42, 3sylib 196 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e. NzRing )
5 drngnzr 18230 . . . 4  |-  ( M  e.  DivRing  ->  M  e. NzRing )
64, 5nsyl 121 . . 3  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e.  DivRing )
7 isfld 17725 . . . 4  |-  ( M  e. Field 
<->  ( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing ) )
8 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing )  ->  M  e.  DivRing )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( Z  e.  V  ->  (
( M  e.  DivRing  /\  M  e.  CRing )  ->  M  e.  DivRing ) )
107, 9syl5bi 217 . . 3  |-  ( Z  e.  V  ->  ( M  e. Field  ->  M  e.  DivRing ) )
116, 10mtod 177 . 2  |-  ( Z  e.  V  ->  -.  M  e. Field )
12 df-nel 2601 . 2  |-  ( M  e/ Field 
<->  -.  M  e. Field )
1311, 12sylibr 212 1  |-  ( Z  e.  V  ->  M  e/ Field )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   {csn 3972   {ctp 3976   <.cop 3978   ` cfv 5569   ndxcnx 14838   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   .rcmulr 14910   CRingccrg 17519   DivRingcdr 17716  Fieldcfield 17717  NzRingcnzr 18225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-drng 17718  df-field 17719  df-nzr 18226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator