MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng0cl Structured version   Unicode version

Theorem rng0cl 16666
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rng0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rng0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rng0cl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem rng0cl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 16650 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rng0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rng0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 15566 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418   Basecbs 14174   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   Ringcrg 16645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-rng 16647
This theorem is referenced by:  dvdsr01  16747  dvdsr02  16748  irredn0  16795  f1rhm0to0  16828  cntzsubr  16897  abv0  16916  abvtrivd  16925  lmod0cl  16974  lmod0vs  16981  lmodvs0  16982  lpi0  17329  isnzr2  17345  rngelnzr  17347  psr1cl  17473  mvrf  17497  mplmon  17542  mplmonmul  17543  mplcoe1  17544  evlslem3  17600  coe1z  17717  coe1tmfv2  17728  ply1scl0  17742  ply1scln0  17743  frlmphllem  18205  frlmphl  18206  uvcvvcl2  18213  uvcff  18216  mamudiagcl  18302  marrepcl  18375  mdetr0  18412  mdetunilem8  18425  mdetunilem9  18426  maducoeval2  18446  maduf  18447  madutpos  18448  madugsum  18449  marep01ma  18466  smadiadetlem4  18475  smadiadetglem2  18478  cphsubrglem  20696  mdegaddle  21545  ply1divex  21608  facth1  21636  fta1blem  21640  abvcxp  22864  frlmpwfi  29453  isnzr2hash  30774  0rng  30775  01eq0rng  30777  gsummoncoe1  30843  dmatsubcl  30877  dmatmulcl  30879  scmatmulcl  30886  pmatcollpw1id  30899  pmattomply1lem  30908  linc0scn0  30957  linc1  30959  lfl0sc  32727  lflsc0N  32728  baerlem3lem1  35352
  Copyright terms: Public domain W3C validator