MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng0cl Structured version   Unicode version

Theorem rng0cl 17021
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rng0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rng0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rng0cl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem rng0cl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 17005 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rng0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rng0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 15888 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588   Basecbs 14490   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727   Ringcrg 17000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-rng 17002
This theorem is referenced by:  dvdsr01  17105  dvdsr02  17106  irredn0  17153  f1rhm0to0  17189  cntzsubr  17261  abv0  17280  abvtrivd  17289  lmod0cl  17338  lmod0vs  17345  lmodvs0  17346  lpi0  17694  isnzr2  17710  isnzr2hash  17711  rngelnzr  17713  0rng  17717  01eq0rng  17719  ringen1zr  17724  psr1cl  17854  mvrf  17879  mplmon  17924  mplmonmul  17925  mplcoe1  17926  evlslem3  17982  coe1z  18103  coe1tmfv2  18115  ply1scl0  18130  ply1scln0  18131  gsummoncoe1  18145  frlmphllem  18606  frlmphl  18607  uvcvvcl2  18614  uvcff  18617  mamumat1cl  18736  dmatsubcl  18795  dmatmulcl  18797  scmatscmiddistr  18805  marrepcl  18861  mdetr0  18902  mdetunilem8  18916  mdetunilem9  18917  maducoeval2  18937  maduf  18938  madutpos  18939  madugsum  18940  marep01ma  18957  smadiadetlem4  18966  smadiadetglem2  18969  1elcpmat  19011  m2cpminv0  19057  decpmataa0  19064  monmatcollpw  19075  pmatcollpw3fi1lem1  19082  pmatcollpw3fi1lem2  19083  chfacfisf  19150  cphsubrglem  21387  mdegaddle  22237  ply1divex  22300  facth1  22328  fta1blem  22332  abvcxp  23556  frlmpwfi  30678  linc0scn0  32123  linc1  32125  lfl0sc  33897  lflsc0N  33898  baerlem3lem1  36522
  Copyright terms: Public domain W3C validator