MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng0cl Structured version   Unicode version

Theorem rng0cl 16656
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rng0cl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rng0cl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
rng0cl  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem rng0cl
StepHypRef Expression
1 rnggrp 16640 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2 rng0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 rng0cl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
42, 3grpidcl 15559 . 2  |-  ( R  e.  Grp  ->  .0.  e.  B )
51, 4syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415   Basecbs 14170   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   Ringcrg 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-rng 16637
This theorem is referenced by:  dvdsr01  16737  dvdsr02  16738  irredn0  16785  cntzsubr  16877  abv0  16896  abvtrivd  16905  lmod0cl  16954  lmod0vs  16961  lmodvs0  16962  lpi0  17307  isnzr2  17323  rngelnzr  17325  psr1cl  17463  mvrf  17487  mplmon  17532  mplmonmul  17533  mplcoe1  17534  coe1z  17671  coe1tmfv2  17682  ply1scl0  17696  ply1scln0  17697  frlmphllem  18105  frlmphl  18106  uvcvvcl2  18113  uvcff  18116  mamudiagcl  18202  marrepcl  18275  mdetr0  18312  mdetunilem8  18325  mdetunilem9  18326  maducoeval2  18346  maduf  18347  madutpos  18348  madugsum  18349  marep01ma  18366  smadiadetlem4  18375  smadiadetglem2  18378  cphsubrglem  20596  evlslem3  21424  mdegaddle  21488  ply1divex  21551  facth1  21579  fta1blem  21583  abvcxp  22807  frlmpwfi  29362  isnzr2hash  30674  0rng  30675  01eq0rng  30677  dmatsubcl  30743  dmatmulcl  30745  scmatmulcl  30752  linc0scn0  30781  linc1  30783  lfl0sc  32415  lflsc0N  32416  baerlem3lem1  35040
  Copyright terms: Public domain W3C validator