MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnfi Structured version   Unicode version

Theorem rnfi 7805
Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
rnfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ran  A  e.  Fin )

Proof of Theorem rnfi
StepHypRef Expression
1 df-rn 5010 . 2  |-  ran  A  =  dom  `' A
2 cnvfi 7804 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  `' A  e.  Fin )
3 dmfi 7803 . . 3  |-  ( `' A  e.  Fin  ->  dom  `' A  e.  Fin )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  `' A  e.  Fin )
51, 4syl5eqel 2559 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ran  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  unirnffid  7812  abrexfi  7820  gsum2dlem1  16800  gsum2dlem2  16801  gsum2dOLD  16803  tsmsxplem1  20418  prdsmet  20636  usgrafiedg  24120  cusgrafi  24186  sizeusglecusg  24190  relfi  27160  heicant  29654  mblfinlem1  29656  ftc1anclem3  29697  istotbnd3  29898  sstotbnd2  29901  sstotbnd  29902  totbndbnd  29916  rnmptfi  31053  rnffi  31058  stoweidlem35  31363  stoweidlem39  31367  stoweidlem59  31387  fourierdlem31  31466  fourierdlem42  31477  fourierdlem54  31489  f1dmvrnfibi  31807  usgfis  31941  usgfisALT  31945
  Copyright terms: Public domain W3C validator