MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnexg Unicode version

Theorem rnexg 4847
Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
rnexg  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )

Proof of Theorem rnexg
StepHypRef Expression
1 uniexg 4408 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 uniexg 4408 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U.
U. A  e.  _V )
3 ssun2 3249 . . . 4  |-  ran  A  C_  ( dom  A  u.  ran  A )
4 dmrnssfld 4845 . . . 4  |-  ( dom 
A  u.  ran  A
)  C_  U. U. A
53, 4sstri 3109 . . 3  |-  ran  A  C_ 
U. U. A
6 ssexg 4057 . . 3  |-  ( ( ran  A  C_  U. U. A  /\  U. U. A  e.  _V )  ->  ran  A  e.  _V )
75, 6mpan 654 . 2  |-  ( U. U. A  e.  _V  ->  ran 
A  e.  _V )
81, 2, 73syl 20 1  |-  ( A  e.  V  ->  ran  A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    u. cun 3076    C_ wss 3078   U.cuni 3727   dom cdm 4580   ran crn 4581
This theorem is referenced by:  rnex  4849  imaexg  4933  xpexr  5021  xpexr2  5022  soex  5029  cnvexg  5114  coexg  5121  cofunexg  5591  funrnex  5599  abrexexg  5616  tposexg  6100  iunon  6241  onoviun  6246  tz7.44lem1  6304  tz7.44-3  6307  fopwdom  6855  disjen  6903  domss2  6905  domssex  6907  hartogslem2  7142  dfac12lem2  7654  restval  13205  prdsbas  13231  prdsplusg  13232  prdsmulr  13233  prdsvsca  13234  prdshom  13240  sscpwex  13536  sylow1lem4  14747  sylow3lem2  14774  sylow3lem3  14775  lsmvalx  14785  txindislem  17159  xkoptsub  17180  fmfnfmlem3  17483  fmfnfmlem4  17484  isgrpo  20693  grpoinvfval  20721  grpodivfval  20739  gxfval  20754  issubgoi  20807  elghomlem1  20858  elghomlem2  20859  ghgrp  20865  isrngod  20876  isvc  20967  isnv  20998  oprabex2gpop  24201  iscst2  24341  unsgrp  24533  aidm2  24916  iscringd  25790  lmhmlnmsplit  26351  bnj1366  27551
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599
  Copyright terms: Public domain W3C validator