Theorem rnexg 6730

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 6593	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 6593	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3600	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 5096	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3443	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4552	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 677	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 18	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   u. cun 3404   C_ wss 3406   U.cuni 4201   dom cdm 4837   ran crn 4838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848

This theorem is referenced by:  rnex  6732  imaexg  6735  xpexr  6738  xpexr2  6739  soex  6741  cnvexg  6744  coexg  6749  cofunexg  6762  funrnex  6765  abrexexg  6773  tposexg  6992  iunon  7062  onoviun  7067  tz7.44lem1  7128  tz7.44-3  7131  fopwdom  7685  disjen  7734  domss2  7736  domssex  7738  hartogslem2  8063  dfac12lem2  8579  unirnfdomd  8997  hashf1rn  12542  hashimarn  12617  trclexlem  13070  relexp0g  13097  relexpsucnnr  13100  restval  15337  prdsbas  15367  prdsplusg  15368  prdsmulr  15369  prdsvsca  15370  prdshom  15377  sscpwex  15732  sylow1lem4  17265  sylow3lem2  17292  sylow3lem3  17293  lsmvalx  17303  txindislem  20660  xkoptsub  20681  fmfnfmlem3  20983  fmfnfmlem4  20984  ustuqtoplem  21266  ustuqtop0  21267  utopsnneiplem  21274  efabl  23511  efsubm  23512  perpln1  24767  perpln2  24768  isperp  24769  lmif  24839  islmib  24841  sizeusglecusg  25226  isgrpo  25936  grpoinvfval  25964  grpodivfval  25982  gxfval  25997  issubgoi  26050  elghomlem1OLD  26101  elghomlem2OLD  26102  ghgrpOLD  26108  isrngod  26119  isvc  26212  isnv  26243  abrexexd  28155  acunirnmpt  28273  acunirnmpt2  28274  acunirnmpt2f  28275  locfinreflem  28679  esumrnmpt2  28901  sxsigon  29026  omssubadd  29140  omssubaddOLD  29144  carsgclctunlem2  29163  pmeasadd  29170  sitgclg  29187  bnj1366  29653  ptrest  31951  iscringd  32244  lmhmlnmsplit  35957  rclexi  36234  rtrclexlem  36235  trclubgNEW  36237  cnvrcl0  36244  dfrtrcl5  36248  relexpmulg  36314  relexp01min  36317  relexpxpmin  36321  fourierdlem70  38050  fourierdlem71  38051  fourierdlem80  38060  meadjiunlem  38313  omeiunle  38348