Theorem rnexg 4207

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- (A e. B -> ran A e. _V)

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. 2 |- (A e. B -> U.A e. _V)
2		uniexg 3795	. 2 |- (U.A e. _V -> U.U.A e. _V)
3		ssun2 2768	. . . 4 |- ran A C_ (dom A u. ran A)
4		dmrnssfld 4205	. . . 4 |- (dom A u. ran A) C_ U.U.A
5	3, 4	sstri 2626	. . 3 |- ran A C_ U.U.A
6		ssexg 3457	. . 3 |- ((ran A C_ U.U.A /\ U.U.A e. _V) -> ran A e. _V)
7	5, 6	mpan 759	. 2 |- (U.U.A e. _V -> ran A e. _V)
8	1, 2, 7	3syl 24	1 |- (A e. B -> ran A e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591   C_ wss 2593  U.cuni 3177  dom cdm 3986  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  rnex 4209  imaexg 4279  xpexr 4352  xpexr2 4353  cnvexg 4424  coexg 4429  cofunexg 4501  funrnex 4544  tz7.44lem1 5135  qsexg 5352  isgrp 9321  grpinvfval 9350  grpinvval 9351  grpinvf 9364  grpdivfval 9366  gxoprval 9380  grplactfval 9404  issubgi 9431  ghgrpilem4 9444  isga 9450  gaid 9454  isvc 9532  isnv 9563  elghomlem1 10193  elghomlem2 10194  idrval 10374  cayleylem1 13641  cayleylem2 13642  cayleylem3 13643  cayleythlem 13645  oprabex2gpop 14337  unsgrp 14728  gaplc 14731  gapm2 14732  curgrpact 14735  rcfpfil 14934  aidm2 15097  cnresima 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain